구분구적법 빈칸

다음은 곡선 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x ^{2}$ ($0 \leq x \leq 2$)과 두 직선 $y = 2 x$, $x = 2$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 과정이다.

$\displaystyle \frac{4}{n}$ $\displaystyle \frac{6}{n}$ $\displaystyle \frac{2 n - 2}{n}$ $\displaystyle \frac{2}{n}$ $\displaystyle y = \frac{1}{2} x ^{2}$ $y = 2 x$ $\cdots$

두 함수 $f \left( x \right)$와 $g \left( x \right)$를 $\displaystyle f \left( x \right) = \frac{1}{2} x ^{2}$, $g \left( x \right) = 2 x$라 하자. 그림과 같이 닫힌 구간 $\left[ 0 , 2 \right]$를 $n$등분하여 구간 $\displaystyle \left[ 0 , \frac{2}{n} \right]$, $\displaystyle \left[ \frac{2}{n} , \frac{4}{n} \right]$, $\displaystyle \left[ \frac{4}{n} , \frac{6}{n} \right]$, $\cdots$ , $\displaystyle \left[ \frac{2 n - 2}{n} , 2 \right]$ 를 얻는다. 각 구간에서 가로의 길이가 $\displaystyle \frac{2}{n}$이고 구간의 오른쪽 끝점에서의 두 함숫값의 차를 세로의 길이로 하는 직사각형을 만든다. 왼쪽에서 $k$번째 직사각형의 넓이를 $S _{k}$라 하면 $\displaystyle S _{k} = \frac{8 k}{n ^{2}} - {\square {( \text{가} ) _{{} _{}} ^{{} ^{{} ^{}}}}} \times k ^{2}$ 직사각형 $n$개의 넓이의 합은 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} S _{k}$$\displaystyle = \left. \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left( \frac{8 k}{n ^{2}} - {\square {( \text{가} ) _{{} _{}} ^{{} ^{{} ^{}}}}} \times k ^{2} \right) \right.$ $\displaystyle = \frac{4 ( n + 1 )}{n} - {\square {( \text{나} ) _{{} _{}} ^{{} ^{{} ^{}}}}}$ 구하는 도형의 넓이는 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} S _{k}} = \frac{8}{3}$

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $p \left( n \right)$, $q \left( n \right)$이라 할 때, $p \left( 2 \right) \times q \left( 3 \right)$의 값은? [4점] ①$\displaystyle \frac{28}{27}$②$\displaystyle \frac{31}{27}$③$\displaystyle \frac{34}{27}$④$\displaystyle \frac{37}{27}$⑤$\displaystyle \frac{40}{27}$