미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

구분구적법

문제

그림과 같이 중심각의 크기가 π2\displaystyle \frac{\pi}{2}이고, 반지름의 길이가 88인 부채꼴 OAB\mathrm{OAB}가 있다. 22 이상의 자연수 nn에 대하여 호 AB\mathrm{AB}를 nn등분한 각 분점을 점 A\mathrm{A}에서 가까운 것부터 차례로 P1\mathrm{P} _{1}, P2\mathrm{P} _{2}, P3\mathrm{P} _{3}, ⋯\cdots, Pn−1\mathrm{P} _{\mathit{n} - 1}이라 하자. 1≤k≤n−11 \leq k \leq n - 1인 자연수 kk에 대하여 점 B\mathrm{B}에서 선분 OPk\mathrm{OP} _{\mathit{k}}에 내린 수선의 발을 Qk\mathrm{Q} _{\mathit{k}}라 하고, 삼각형 OQkB\mathrm{OQ} _{\mathit{k}} B의 넓이를 SkS _{k}라 하자. lim⁡n→∞1n∑k=1n−1Sk=απ\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{n} \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} S _{k}} = \frac{\alpha}{\pi}일 때, α\alpha의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 무한급수와 정적분을 활용하여 문제 해결하기 삼각형 OQkB\mathrm{OQ} _{\mathit{k}} B에서 ∠OBQk=∠AOPk=kπ2n\displaystyle \angle \mathrm{OBQ} _{\mathit{k}} \mathit{=} \angle \mathrm{AOP} _{\mathit{k}} \mathit{=} \frac{k \pi}{2 n}이고 OB‾=8\displaystyle {\overline{\mathrm{OB}}} = 8이므로 OQk‾=8sin⁡kπ2n\displaystyle {\overline{\mathrm{OQ} _{\mathit{k}}}} = 8 \sin \frac{k \pi}{2 n}, BQk‾=8cos⁡kπ2n\displaystyle {\overline{\mathrm{BQ} _{\mathit{k}}}} = 8 \cos \frac{k \pi}{2 n} Sk=12×OQk‾×BQk‾=12×8sin⁡kπ2n×8cos⁡kπ2n=16sin⁡kπn\displaystyle \begin{aligned} S _{k} = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{OQ} _{\mathit{k}}}} \times {\overline{\mathrm{BQ} _{\mathit{k}}}} \\ = \frac{1}{2} \times 8 \sin \frac{k \pi}{2 n} \times 8 \cos \frac{k \pi}{2 n} = 16 \sin \frac{k \pi}{n} \end{aligned} lim⁡n→∞1n∑k=1n−1Sk=16lim⁡n→∞1n∑k=1n−1sin⁡kπn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{n} \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} S _{k}} = 16 \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{n} \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \sin \frac{k \pi}{n}} =16∫01sin⁡πxdx\displaystyle = 16 \int _{0} ^{1} {\sin \pi x dx}=16[−1πcos⁡πx]01=32π\displaystyle = 16 \left[ - \frac{1}{\pi} \cos \pi x \right] _{0} ^{1} = \frac{32}{\pi} 따라서 α=32\alpha = 32

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