미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

구분구적법

문제

삼차함수 f(x)=3x3+4x2−2x−1f ( x ) = 3 x ^{3} + 4 x ^{2} - 2 x - 1에 대하여 lim⁡n→∞∑k=1n1nf(−1+2kn)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{n} f \left( - 1 + \frac{2 k}{n} \right)} 의 값은? [4점] ①−13\displaystyle - \frac{1}{3}②−16\displaystyle - \frac{1}{6}③00④16\displaystyle \frac{1}{6}⑤13\displaystyle \frac{1}{3}

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⑤

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해설

[출제의도] 무한급수와 정적분의 관계를 이해할 수 있는지 묻는 문제이다. lim⁡n→∞∑k=1n1nf(−1+2kn)=12∫−11(3x3+4x2−2x−1)dx\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{n} f \left( - 1 + \frac{2 k}{n} \right) = \frac{1}{2} \int _{- 1} ^{1} {( 3 x ^{3} + 4 x ^{2} - 2 x - 1 ) dx} =∫01(4x2−1)dx\displaystyle = \int _{0} ^{1} {} \left( 4 x ^{2} - 1 \right) dx=13\displaystyle = \frac{1}{3}

태그

#구분구적법#정적분

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