미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

구분구적법

문제

함수 f(x)=ln⁡xf ( x ) = \ln x에 대하여 lim⁡n→∞∑k=1nkn2f(1+kn)=qp\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{k}{n ^{2}} f \left( 1 + \frac{k}{n} \right) \begin{matrix} \\ \end{matrix} = \frac{q}{p}일 때, p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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5

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해설

[출제의도] 정적분의 정의를 이용하여 급수의 합을 구한다. xk=1+kn\displaystyle x _{k} = 1 + \frac{k}{n}로 놓으면 Δx=1n\displaystyle \Delta x = \frac{1}{n}이므로 정적분의 정의에 의하여 lim⁡n→∞∑k=1nkn2f(1+kn)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{k}{n ^{2}} f \left( 1 + \frac{k}{n} \right)=lim⁡n→∞∑k=1nknf(1+kn)1n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{k}{n} f \left( 1 + \frac{k}{n} \right) \frac{1}{n} =∫12(x−1)f(x)dx\displaystyle = \int _{1} ^{2} {} ( x - 1 ) f ( x ) dx 이다. 따라서 ∫12(x−1)ln⁡xdx\displaystyle \int _{1} ^{2} {} ( x - 1 ) \ln x dx=[(12x2−x)ln⁡x]12−∫121x(12x2−x)dx\displaystyle = \left[ \left( \frac{1}{2} x ^{2} - x \right) \ln x \right] _{1} ^{2} - \int _{1} ^{2} {} \frac{1}{x} \left( \frac{1}{2} x ^{2} - x \right) dx =(0−0)−∫12(12x−1)dx\displaystyle = \left( 0 - 0 \right) - \int _{1} ^{2} {} \left( \frac{1}{2} x - 1 \right) dx =−[14x2−x]12\displaystyle = \mathit{-} \left[ \frac{1}{4} x ^{2} - x \right] _{1} ^{2} =−(1−2)+(14−1)\displaystyle = \mathit{-} \left( 1 - 2 \right) + \left( \frac{1}{4} - 1 \right) =14\displaystyle = \frac{1}{4} p=4p = 4, q=1q = 1이므로 p+qp + q=5= 5

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