구 위의 점과 정사영 넓이

점 ${\mathrm{A}}$에서 평면 ${\mathrm{BCD}}$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{H}}$라 하면 삼각형 ${\mathrm{ABD}}$의 평면 ${\mathrm{BCD}}$ 위로의 정사영은 삼각형 ${\mathrm{HBD}}$이다. $\displaystyle \cos \theta = \frac{{\overline{\mathrm{OH}}}}{{\overline{\mathrm{OA}}}} = \frac{{\overline{\mathrm{OH}}}}{5} = \frac{3}{5}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OH}}} = 3$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = 4$ $\displaystyle \angle {\mathrm{AHC}} = \frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CH}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{AH}}} ^{2} = \left( \sqrt{74} \right) ^{2} - 4 ^{2} = 58$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{CH}}} = \sqrt{58}$ 평면 ${\mathrm{BCD}}$와 구 $S$의 교선을 $C$라 하자.

삼각형 ${\mathrm{OHC}}$에서 $\displaystyle \cos \left( \angle {\mathrm{HOC}} \right) = \frac{3 ^{2} + 5 ^{2} - \left( \sqrt{58} \right) ^{2}}{2 \times 3 \times 5} = - \frac{24}{30} = - \frac{4}{5}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = {\overline{\mathrm{CD}}}$이므로 삼각형 ${\mathrm{BCD}}$는 직각이등변삼각형이고 $\displaystyle \angle {\mathrm{BOC}} = \frac{\pi}{2}$ $\displaystyle \angle {\mathrm{HOB}} = \angle {\mathrm{HOC}} - \frac{\pi}{2}$이므로 $\sin \left( \angle {\mathrm{HOB}} \right)$$\displaystyle = \sin \left( \angle {\mathrm{HOC}} - \frac{\pi}{2} \right)$ $\displaystyle = - \cos \left( \angle {\mathrm{HOC}} \right) = \frac{4}{5}$ 점 ${\mathrm{H}}$에서 선분 ${\mathrm{BD}}$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{I}}$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{HI}}} = {\overline{\mathrm{OH}}} \times \sin \left( \angle {\mathrm{HOB}} \right) = 3 \times \frac{4}{5} = \frac{12}{5}$ 따라서 삼각형 ${\mathrm{HBD}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{BD}}} \times {\overline{\mathrm{HI}}} = \frac{1}{2} \times 10 \times \frac{12}{5} = 12$