구 위의 점과 정사영

점 ${\mathrm{A}}$의 좌표를 $\left( x _{\mathrm{A}} , y _{\mathrm{A}} , z _{\mathrm{A}} \right)$, 점 ${\mathrm{B}}$의 좌표를 $\left( x _{\mathrm{B}} , y _{\mathrm{B}} , z _{\mathrm{B}} \right)$라 하자. (단, $0 < z _{\mathrm{A}} < 6$) 구 $S$의 반지름의 길이는 $6$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = {\overline{\mathrm{OB}}} = 6$ 조건 (가)에서 점 ${\mathrm{C}}$는 선분 ${\mathrm{OA}}$ 위에 있고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OC}}} = 4$이므로 $\displaystyle {\vec{\mathrm{OC}}} = \frac{4}{6} {\vec{\mathrm{OA}}} = \frac{2}{3} {\vec{\mathrm{OA}}}$ 따라서 점 ${\mathrm{C}}$의 $z$좌표는 $\displaystyle \frac{2}{3} z _{\mathrm{A}}$이다. 직선 ${\mathrm{BC}}$가 $xy$평면과 평행하므로 점 ${\mathrm{B}}$와 점 ${\mathrm{C}}$의 $z$좌표는 같다. $\displaystyle \therefore z _{\mathrm{B}} = \frac{2}{3} z _{\mathrm{A}}$ 조건 (나)에서 직선 ${\mathrm{OA}}$와 $xy$평면이 이루는 예각의 크기가 $\alpha$이므로 $\displaystyle \sin \alpha = \frac{\left| z _{\mathrm{A}} \right|}{{\overline{\mathrm{OA}}}} = \frac{z _{\mathrm{A}}}{6}$ 직선 ${\mathrm{AB}}$와 $xy$평면이 이루는 예각의 크기가 $\beta$이므로 $\displaystyle \sin \beta = \frac{\left| z _{\mathrm{A}} - z _{\mathrm{B}} \right|}{{\overline{\mathrm{AB}}}} = \frac{\left| z _{\mathrm{A}} - \frac{2}{3} z _{\mathrm{A}} \right|}{{\overline{\mathrm{AB}}}} = \frac{\frac{1}{3} z _{\mathrm{A}}}{{\overline{\mathrm{AB}}}}$ $\sin \alpha = 3 \sin \beta$이므로 $\displaystyle \frac{z _{\mathrm{A}}}{6} = 3 \times \frac{\frac{1}{3} z _{\mathrm{A}}}{{\overline{\mathrm{AB}}}} = \frac{z _{\mathrm{A}}}{{\overline{\mathrm{AB}}}}$ $z _{\mathrm{A}} > 0$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 6$ 삼각형 ${\mathrm{OAB}}$는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = {\overline{\mathrm{OB}}} = {\overline{\mathrm{AB}}} = 6$인 정삼각형이므로 $\angle {\mathrm{AOB}} = 60 ^\circ$이고, $\displaystyle {\vec{\mathrm{OA}}} \bullet {\vec{\mathrm{OB}}} = \left| {\vec{\mathrm{OA}}} \left| \left| {\vec{\mathrm{OB}}} \left| \cos 60 ^\circ = 6 \times 6 \times \frac{1}{2} = 18 \right. \right. \right. \right.$ 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{B}}$의 $xy$평면 위로의 정사영을 각각 ${\mathrm{A'}}$, ${\mathrm{B'}}$이라 하면 ${\mathrm{A'}} \left( x _{\mathrm{A}} , y _{\mathrm{A}} , 0 \right)$, ${\mathrm{B'}} \left( x _{\mathrm{B}} , y _{\mathrm{B}} , 0 \right)$이다. 삼각형 ${\mathrm{OA' B'}}$이 직각삼각형이므로 다음 세 가지 경우를 생각할 수 있다. (ⅰ) $\angle {\mathrm{A' OB'}} = 90 ^\circ$인 경우 ${\vec{\mathrm{OA'}}} \bullet {\vec{\mathrm{OB'}}} = 0$이므로 $x _{\mathrm{A}} x _{\mathrm{B}} + y _{\mathrm{A}} y _{\mathrm{B}} = 0$ ${\vec{\mathrm{OA}}} \bullet {\vec{\mathrm{OB}}} = x _{\mathrm{A}} x _{\mathrm{B}} + y _{\mathrm{A}} y _{\mathrm{B}} + z _{\mathrm{A}} z _{\mathrm{B}} = 18$에서 $z _{\mathrm{A}} z _{\mathrm{B}} = 18$ $\displaystyle z _{\mathrm{B}} = \frac{2}{3} z _{\mathrm{A}}$이므로 $\displaystyle z _{\mathrm{A}} \left( \frac{2}{3} z _{\mathrm{A}} \right) = 18$, $z _{\mathrm{A}} ^{2} = 27$ $\displaystyle \therefore z _{\mathrm{A}} = 3 \sqrt{3}$ $\displaystyle 0 < 3 \sqrt{3} < 6$이므로 조건을 만족한다. (ⅱ) $\angle {\mathrm{OA' B'}} = 90 ^\circ$인 경우 ${\vec{\mathrm{A' O}}} \bullet {\vec{\mathrm{A' B'}}} = 0$이므로 $x _{\mathrm{A}} \left( x _{\mathrm{A}} - x _{\mathrm{B}} \right) + y _{\mathrm{A}} \left( y _{\mathrm{A}} - y _{\mathrm{B}} \right) = 0$ $x _{\mathrm{A}} \mathit{^{2}} + y _{\mathrm{A}} \mathit{^{2}} - \left( x _{\mathrm{A}} x _{\mathrm{B}} + y _{\mathrm{A}} y _{\mathrm{B}} \right) = 0$ $\left( 36 - z _{\mathrm{A}} \mathit{^{2}} \right) - \left( 18 - z _{\mathrm{A}} z _{\mathrm{B}} \right) = 0$ $\displaystyle 18 - z _{\mathrm{A}} \mathit{^{2}} + z _{\mathrm{A}} \left( \frac{2}{3} z _{\mathrm{A}} \right) = 0$, $\displaystyle 18 - \frac{1}{3} z _{\mathrm{A}} \mathit{^{2}} = 0$ $z _{\mathrm{A}} \mathit{^{2}} = 54$ $\displaystyle z _{\mathrm{A}} = \sqrt{54} = 3 \sqrt{6} > 6$이므로 점 ${\mathrm{A}}$가 구 $S$ 위에 있다는 조건에 모순이다. (ⅲ) $\angle {\mathrm{OB' A'}} = 90 ^\circ$인 경우 (ⅱ)와 마찬가지로 $z _{\mathrm{B}} \mathit{^{2}} = 54$가 되어 모순이다. 이상에서 $\displaystyle z _{\mathrm{A}} = 3 \sqrt{3}$이고 $\displaystyle z _{\mathrm{B}} = 2 \sqrt{3}$이다. $\triangle$${\mathrm{OAB}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 \times \sin 60 ^\circ = 9 \sqrt{3}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 정사영된 삼각형 ${\mathrm{OA' B'}}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} {\overline{\mathrm{OA'}}} \times {\overline{\mathrm{OB'}}}$이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA'}}} ^{2} = x _{\mathrm{A}} \mathit{^{2}} + y _{\mathrm{A}} \mathit{^{2}} = 36 - z _{\mathrm{A}} \mathit{^{2}} = 36 - 27 = 9$ $\displaystyle \therefore {\overline{\mathrm{OA'}}} = 3$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OB'}}} ^{2} = x _{\mathrm{B}} \mathit{^{2}} + y _{\mathrm{B}} \mathit{^{2}} = 36 - z _{\mathrm{B}} \mathit{^{2}} = 36 - 12 = 24$ $\displaystyle \therefore {\overline{\mathrm{OB'}}} = 2 \sqrt{6}$ 이므로 $\triangle$${\mathrm{OA' B'}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 \sqrt{6} = 3 \sqrt{6}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 평면 ${\mathrm{OAB}}$와 $xy$평면이 이루는 예각의 크기가 $\theta$이므로 ㉠, ㉡에서 구하는 값은 $\cos \theta$$\displaystyle = \frac{\triangle {\mathrm{OA}' B'}}{\triangle {\mathrm{OAB}}}$$\displaystyle = \frac{3 \sqrt{6}}{9 \sqrt{3}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{3}$