기하공간벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

구 위 점과 평면 거리

문제

좌표공간에서 직선 x2=−y=−z2\displaystyle \frac{x}{2} = - y = - \frac{z}{2}와 평면 x+y+z=2x + y + z = 2가 만나는 점을 A\mathrm{A}라 하자. 점 P\mathrm{P}가 OA⃗∙OP⃗=∣OP⃗∣2\mathrm{\vec{OA}} \bullet \vec{OP} = \left| \vec{OP} \right| ^{2}을 만족시킬 때, 점 P\mathrm{P}와 평면 x+y+z=2x + y + z = 2 사이의 거리의 최댓값은? [4점] ①3+33\displaystyle 3 + \frac{\sqrt{3}}{3}②3+63\displaystyle 3 + \frac{\sqrt{6}}{3}③4+33\displaystyle 4 + \frac{\sqrt{3}}{3}④4+63\displaystyle 4 + \frac{\sqrt{6}}{3}⑤5+33\displaystyle 5 + \frac{\sqrt{3}}{3}

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①

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해설

x2=−y=−z2=t\displaystyle \frac{x}{2} = - y = - \frac{z}{2} = t로 놓고 평면의 방정식에 대입하면 t=−1t = - 1 ∴ A\mathrm{A}(−4,2,4)( - 4 , 2 , 4 ) OA⃗∙OP⃗=OP⃗∙OP⃗\mathrm{\vec{OA}} \bullet \vec{OP} = \vec{OP} \bullet \vec{OP}에서 OP⃗∙AP⃗=0\mathrm{\vec{OP}} \bullet \vec{AP} = 0이다. 따라서 점 P\mathrm{P}는 선분 OA\mathrm{OA}를 지름으로 하는 구 위의 점이고, 이 구의 중심의 좌표는 (−2,1,2)( - 2 , 1 , 2 ), 반지름의 길이는 33이므로 구하는 최댓값은 ∣−2+1+2−2∣3+3=3+33\displaystyle \frac{\left| - 2 + 1 + 2 - 2 \right|}{\sqrt{3}} + 3 = 3 + \frac{\sqrt{3}}{3}

태그

#벡터 내적#구#평면

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