기하공간도형과 공간좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

구 위 점과 평면 각

문제

구 x2+y2+z2=22x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 2 ^{2} 위의 세 점 A(−3,1,0)\displaystyle \mathrm{A} ( - \sqrt{3} , 1 , 0 ), B(3,1,0)\displaystyle \mathrm{B} ( \sqrt{3} , 1 , 0 ), C(0,2,0)\mathrm{C} ( 0 , 2 , 0 )에 대하여, 선분 AB\mathrm{AB}를 포함하면서 xyx y평면에 수직인 평면 α\alpha가 있다. 또한, 점 A\mathrm{A}를 지나는 평면 α\alpha위의 직선이 구와 만나는 점을 P\mathrm{P}라 하자. AP‾=6\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \sqrt{6}일 때, 평면 ACP\mathrm{ACP}와 xyx y평면이 이루는 각을 θ\theta라면 cos⁡2θ\cos ^{2} \theta의 값은? [4점] ①19\displaystyle \frac{1}{9}②18\displaystyle \frac{1}{8}③17\displaystyle \frac{1}{7}④16\displaystyle \frac{1}{6}⑤15\displaystyle \frac{1}{5}

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⑤

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해설

점 PP의 xyxy평면으로의 정사영을 QQ라 하자. △AQP\triangle AQP는 ∠Q=90∘\angle Q = 90 ^\circ인 직각이등변삼각형이다. 그리고 AQ‾=PQ‾=3,AP‾=6\displaystyle \overline{AQ} = \overline{PQ} = \sqrt{3} , \overline{AP} = \sqrt{6}이다. AC‾=PC‾=2\displaystyle \overline{AC} = \overline{PC} = 2이고 △ACP\triangle ACP는 이등변삼각형이다. S1=△ACP=12×6×52=152\displaystyle S _{1} = \triangle ACP = \frac{1}{2} \times \sqrt{6} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{15}}{2} S2=△AQC=12×3×1=32\displaystyle S _{2} = \triangle AQC = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} S1cos⁡θ=S2,cos⁡θ=15\displaystyle S _{1} \cos \theta = S _{2} , \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}} ∴cos⁡2θ=15\displaystyle \therefore \cos ^{2} \theta = \frac{1}{5}

태그

#구#이면각#정사영

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