구 위 점과 벡터 크기 최대

$\displaystyle \frac{2}{3} \vec{OA} + \frac{1}{3} \vec{OP} = \vec{OM}$라 놓으면 $\displaystyle \vec{OM} = \frac{2}{3} ( 3 , 3 , 3 ) + \frac{1}{3} ( x , y , z ) = \frac{1}{3} ( 6 + x , 6 + y , 6 + z )$ $\displaystyle \left| \vec{OM} \right| = \frac{1}{3} \sqrt{( 6 + x ) ^{2} + ( 6 + y ) ^{2} + 6 + z ) ^{2}}$ $\displaystyle = \frac{1}{3} \sqrt{108 + 12 ( x + y + z ) + x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}}$ $\displaystyle = \frac{1}{3} \sqrt{108 + 12 ( x + y + z ) + 9}$ $\displaystyle = \frac{1}{3} \sqrt{12 x + 12 y + 12 z + 117}$ 여기에서 $x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 9 \cdots \cdots \text{①}$ $12 x + 12 y + 12 z + 117 = k \cdots \cdots \text{ ②}$라 놓고 ①, ②를 동시에 만족하는 실수 $x , y , z$가 존재하도록 하는 $k$의 범위를 먼저 구한다. 즉, 이 평면과 구가 만나는 조건은 구의 중심에서 이 평면까지의 거리가 구의 반지름 이하가 되는 것이다. $\displaystyle \frac{\left| - k + 117 \right|}{\sqrt{12 ^{2} + 12 ^{2} + 12 ^{2}}} \leq 3 \leftrightarrow \left| k - 117 \right| \leq 36 \sqrt{3}$ $\displaystyle \leftrightarrow 117 - 36 \sqrt{3} \leq k \leq 117 + 36 \sqrt{3}$ $\displaystyle \left| \vec{OM} \right| \leq \frac{1}{3} \sqrt{117 + 36 \sqrt{3}} = \sqrt{13 + 4 \sqrt{3}}$$\displaystyle = \sqrt{( 1 + 2 \sqrt{3} ) ^{2}} = 1 + 2 \sqrt{3}$ $\therefore a = 1 , b = 2$ $\therefore 10 ( a + b ) = 10 \times 3 = 30$ [다른 풀이] 벡터 $\vec{OA}$와 $\vec{OP}$가 이루는 각을 $\theta$라 하면 $\displaystyle \left| \frac{2}{3} \vec{OA} + \frac{1}{3} \vec{OB} \right| ^{2}$$\displaystyle = \frac{4}{9} {\left| \vec{OA} \right| ^{2} + \frac{1}{9} \left| \vec{OP} \right| ^{2} + \frac{2}{9} \vec{OA} \cdot \vec{OP}}$ $\displaystyle = \frac{4}{9} \times 27 + \frac{1}{9} \times 9 + \frac{4}{9} \times 3 \sqrt{3} \times 3 \times \cos \theta$ $\displaystyle = 13 + 4 \sqrt{3} \cos \theta \leq 13 + 4 \sqrt{3}$ $\displaystyle \left| \frac{2}{3} \vec{OA} + \frac{1}{3} \vec{OB} \right| \leq \sqrt{13 + 4 \sqrt{3}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( 1 + 2 \sqrt{3} \right) ^{2}} = 1 + 2 \sqrt{3}$ $\therefore a = 1 , b = 2$ $\therefore 10 ( a + b ) = 10 \times 3 = 30$ [다른 풀이] 선분 $AP$를 $1 : 2$로 내분하는 점을 $Q$라고 할 때, $\displaystyle \frac{2}{3} \vec{OA} + \frac{1}{3} \vec{OP} = \vec{OQ}$이다. $A ( 3 , 3 , 3 )$

$| \vec{OP} | = 3$, $\displaystyle | \vec{OA} | = 3 \sqrt{3}$로 일정하므로 $| \vec{OQ} |$의 값이 최대가 되는 것은 두 벡터 $\vec{OP} , \vec{OA}$의 방향이 같을 때이다. $A ( 3 , 3 , 3 )$

$\displaystyle \overline{PQ} = \frac{2}{3} \overline{PA} = \frac{2}{3} ( 3 \sqrt{3} - 3 ) = 2 \sqrt{3} - 2$이므로 $\displaystyle | \vec{OQ} | = 3 + ( 2 \sqrt{3} - 2 ) = 1 + 2 \sqrt{3}$ ∴ $a = 1 , b = 2$ ∴ $10 ( a + b ) = 10 ( 1 + 2 ) = 30$ [다른 풀이] 점 $P$의 좌표를 $( x , y , z )$라 하면 $\displaystyle \frac{2}{3} \vec{OA} + \frac{1}{3} \vec{OP} = \frac{2}{3} ( 3 , 3 , 3 ) + \frac{1}{3} ( x , y , z )$ $\displaystyle = \frac{1}{3} ( x + 6 , y + 6 , z + 6 )$이므로 $\displaystyle \left| \frac{2}{3} \vec{OA} + \frac{1}{3} \vec{OP} \right|$$\displaystyle = \left| \frac{1}{3} ( x + 6 , y + 6 , z + 6 ) \right|$ $\displaystyle = \frac{1}{3} \sqrt{( x + 6 ) ^{2} + ( y + 6 ) ^{2} + ( z + 6 ) ^{2}}$ $\displaystyle \sqrt{( x + 6 ) ^{2} + ( y + 6 ) ^{2} + ( z + 6 ) ^{2}}$는 구면 위의 점 $P ( x , y , z )$와 점 $Q ( - 6 , - 6 , - 6 )$ 사이의 거리이므로 $\displaystyle \overline{PQ}$의 최댓값은 $\displaystyle \overline{OQ} + 3 = \sqrt{6 ^{2} + 6 ^{2} + 6 ^{2}} + 3 = 6 \sqrt{3} + 3$이다. 따라서, $\displaystyle \frac{1}{3} \sqrt{( x + 6 ) ^{2} + ( y + 6 ) ^{2} + ( z + 6 ) ^{2}}$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{1}{3} ( 6 \sqrt{3} + 3 ) = 2 \sqrt{3} + 1$이므로 $a = 1 , b = 2$이다. ∴ $10 ( a + b ) = 10 ( 1 + 2 ) = 30$