구 위 점 정사영 넓이

[출제의도] 정사영을 활용하여 문제 해결하기

점 $\mathrm{P}$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$, 점 $\mathrm{A}$에서 선분 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{I}$라 하자. $\displaystyle \angle \mathrm{PAO} = \frac{\pi}{3}$이고 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{OA}}}} = {\overline{{\mathrm{OP}}}}$이므로 삼각형 $\mathrm{PAO}$는 정삼각형이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{PA}}} = 4$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} = 2 \sqrt{3}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = {\overline{OH}} = 2$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OI}}} = \mathit{a}$$\left( a > 0 \right)$이라 하면 직각삼각형 $\mathrm{OIB}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{IB}}}$$\displaystyle = \mathit{\sqrt{{\overline{\mathrm{OB}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{OI}}} ^{2}}} = \sqrt{\mathit{16} - a ^{2}}$ 직각삼각형 $\mathrm{AIB}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}}$$\displaystyle = \sqrt{{\overline{\mathrm{AI}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{IB}}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( a + 4 \right) ^{2} + 16 - a ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{8 a + 32}$ 직각삼각형 ${\mathrm{P}} {\mathrm{HI}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{P} \mathrm{I}}}$$\displaystyle = \mathrm{\sqrt{{\overline{\mathrm{PH}}} ^{2} + {\overline{HI}} ^{2}}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( 2 \sqrt{3} \right) ^{2} + \left( a + 2 \right) ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{a ^{2} + 4 a + 16}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{PH}}} \perp \alpha$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{HI}}} \perp {\overline{\mathrm{BC}}}$이므로 삼수선의 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{P} I}} \perp {\overline{\mathrm{BC}}}$이다. 직각삼각형 $\mathrm{P} IB$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PB}}}$$\displaystyle = \mathit{\sqrt{{\overline{\mathrm{P} \mathrm{I}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{IB}}} ^{2}}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( a ^{2} + 4 a + 16 \right) + \left( 16 - a ^{2} \right)}$$\displaystyle = \sqrt{4 a + 32}$ 삼각형 $\mathrm{PAB}$에서 $\cos \left( \angle \mathrm{PAB} \right)$$\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{AP}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{PB}}} ^{2}}{2 \times {\overline{\mathrm{AP}}} \times {\overline{\mathrm{AB}}}}$ $\displaystyle = \frac{16 + \left( 8 a + 32 \right) - \left( 4 a + 32 \right)}{2 \times 4 \times \sqrt{8 a + 32}}$ $\displaystyle = \frac{a + 4}{4 \sqrt{2 a + 8}}$ 그러므로 $\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{8} = \frac{a + 4}{4 \sqrt{2 a + 8}}$ $\left( a + 4 \right) ^{2} = 5 \left( a + 4 \right)$ $a ^{2} + 3 a - 4$$= \left( a + 4 \right) \left( a - 1 \right) = 0$ $a > 0$이므로 $a = 1$

점 $$$\mathrm{B}$에서 선분 ${{\mathrm{PA}}}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{J}$라 하자. $\displaystyle \sin \left( \angle \mathrm{PAB} \right) \mathit{=} \frac{{\overline{\mathrm{BJ}}}}{{\overline{\mathrm{AB}}}} = \frac{{\overline{\mathrm{BJ}}}}{2 \sqrt{10}}$ $\displaystyle \sin \left( \angle \mathrm{PAB} \right) \mathit{=} \sqrt{1 - \left( \frac{\sqrt{10}}{8} \right) ^{2}} = \frac{3 \sqrt{6}}{8}$이므로 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{BJ}}}} = \frac{3 \sqrt{15}}{2}$ 삼각형 $\mathrm{PAB}$의 넓이를 $S'$이라 하자. $\displaystyle S' = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{PA}}} \times {\overline{\mathrm{BJ}}} = \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{3 \sqrt{15}}{2} = 3 \sqrt{15}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = {\overline{AC}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{PB}}} = {\overline{PC}}$이므로 두 삼각형 $\mathrm{PAB}$, $\mathrm{PAC}$는 서로 합동이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{BJ}}} \perp {\overline{\mathrm{AP}}}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CJ}}} \perp {\overline{\mathrm{AP}}}$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BJ}}} = {\overline{CJ}}$ 두 평면 $\mathrm{PAB}$와 $\mathrm{PAC}$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BJ}}} \perp {\overline{\mathrm{AP}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CJ}}} \perp {\overline{\mathrm{AP}}}$이므로 $\theta = \angle \mathrm{BJC}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{JB}} = {\overline{JC}} = \frac{3 \sqrt{15}}{2}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 2 \sqrt{15}$ $\cos \theta$$\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{JB}}} ^{2} + {\overline{JC}} ^{2} - {\overline{\mathrm{BC}}} ^{2}}{2 \times {\overline{\mathrm{JB}}} \times {\overline{JC}}}$$\displaystyle = \frac{2 \times \left( \frac{3 \sqrt{15}}{2} \right) ^{2} - 60}{2 \times \left( \frac{3 \sqrt{15}}{2} \right) ^{2}}$$\displaystyle = \frac{1}{9}$ $\displaystyle S = S' \times \mathrm{\cos} \theta = 3 \sqrt{15} \times \frac{1}{9} = \frac{\sqrt{15}}{3}$ 따라서 $\displaystyle 30 \times S ^{2} = 30 \times \frac{15}{9} = 50$