기하공간도형과 공간좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

구 접평면과 원 현

문제

좌표공간에 구 S:x2+y2+(z−1)2=1S : x ^{2} + y ^{2} + ( z - 1 ) ^{2} = 1과 xyxy평면 위의 원 C:x2+y2=4C : x ^{2} + y ^{2} = 4가 있다. 구 SS와 점 P\mathrm{P}에서 접하고 원 CC위의 두 점 Q,R\mathrm{Q} , R를 포함하는 평면이 xyxy평면과 이루는 예각의　크기가 π3\displaystyle \frac{\pi}{3}이다. 점 P\mathrm{P}의 zz좌표가 11보다 클 때, 선분 QR\mathrm{QR}의　길이는? [4점] ①11②2\displaystyle \sqrt{2}③3\displaystyle \sqrt{3}④22⑤5\displaystyle \sqrt{5}

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④

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해설

주어진 상황을 그림으로 나타내면 위와 같다. 구 SS의 중심을 C(0,0,1)\mathrm{C} ( 0 , 0 , 1 )이라 하고 구 SS위의 점 P\mathrm{P}에서 접하고 원 CC위의 두 점 Q,R\mathrm{Q} , R을 포함하는 평면을 α\alpha라 하면 직선 QR\mathrm{QR}은 xyxy평면과 평면 α\alpha와의 교선이 된다. 한편 점 P\mathrm{P}에서 직선 QR\mathrm{QR}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하면 O\mathrm{O}에서 직선 QR\mathrm{QR}에 내린 수선의 발도 H\mathrm{H}가 된다. 평면 POH\mathrm{POH}로 자른 단면을 이용하면 OH‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{OH}} = \sqrt{3}임을 알 수 있다.

이제 xyxy평면 위의 원 CC에서 살펴보자.

직각삼각형 ROH\mathrm{ROH}에서 RH‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{RH}} = 1이므로 QR‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{QR}} = 2이다.

태그

#구#접평면#이면각

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