구 접평면 정사영

[출제의도] 좌표공간에서 평면과 구의 방정식을 이해하여 관련 문항을 해결할 수 있다. 구의 방정식은 $x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 3$이고 구 위의 점 ${\mathrm{P}} ( a , b , c )$에 대하여 $a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} = 3 \cdots \cdots \text{①}$ 평면 $\alpha$의 법선벡터는 $\vec{n _{1}} = ( a , b , c )$ 원을 포함하는 $xy$평면을 $\beta$라 하면 평면 $\beta$의 법선벡터는 $\vec{n} _{2} = ( 0 , 0 , 1 )$ 두 평면 $\alpha , \beta$가 이루는 각의 크기를 $\theta$라 하면 $\cos \theta$$\displaystyle = \frac{\left| {\vec{n _{1}}} \cdot {\vec{n _{2}}} \right|}{\left| {\vec{n _{1}}} \right| \left| {\vec{n _{2}}} \right| ^{\mathit{^{}}}}$$\displaystyle = \frac{\left| ( a , b , c ) \cdot ( 0 , 0 , 1 ) \right|}{\sqrt{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}} \sqrt{0 ^{2} + 0 ^{2} + 1 ^{2}}}$ $\displaystyle = \frac{| c |}{\sqrt{3}} = \frac{c}{\sqrt{3}}$ 원 $C$의 넓이가 $3 \pi$이고 원 $C$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 넓이가 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \pi$이므로 $\displaystyle 3 \pi \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \pi$에서 $c = \frac{1}{2} \cdots \cdots \text{ ②}$ $\text{ ①} , \text{ ②}$에 의해 점${\mathrm{P}}$가 나타내는 도형은 구$x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 3$을 평면$z = \frac{1}{2}$로 자른 단면인 원이다. 구 $x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 3$을 평면 $\displaystyle z = \frac{1}{2}$로 자른 단면을 원 $C'$라 하자. $C'$의 중심 $\mathrm{O}'$은 $\displaystyle \mathrm{O}' \left( 0 , 0 , \frac{1}{2} \right)$이고 구 $x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 3$ 의 반지름의 길이가 $\displaystyle \sqrt{3}$이므로 원 $C'$의 반지름의 길이는 $\displaystyle \sqrt{3 - \left( \frac{1}{2} \right) ^{2}} = \frac{\sqrt{11}}{2}$ 이므로 원 $C'$의 둘레의 길이는 $\displaystyle \sqrt{11} \pi$이다. 따라서 $\displaystyle k = \sqrt{11}$이므로 $k ^{2} = 11$