구 그림자 넓이

주어진 입체를 옆면 $\mathrm{ABFE}$가 정면에서 보이도록 나타낼 때, 구는 다음 그림과 같이 변 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{AE}$, $\mathrm{BF}$에 동시에 접하는 원이다.

위 그림에서 원의 중심을 $\mathrm{C}$, 점 $\mathrm{C}$에서 변 $\mathrm{EF}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{I}$라 하자. 원의 반지름의 길이가 $4$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AE}} = 4 + 4 \sqrt{3}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{\mathrm{CI}}} = 4 \sqrt{3}$이다. 직각삼각형 $\mathrm{CEI}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{EI}} = 4$이므로 $\angle \mathrm{CEI}$$= 60 ^\circ$이다. 따라서 삼각형 $\mathrm{CEF}$는 한 변의 길이가 $8$인 정삼각형이다. $S _{1} > S _{2}$이므로 점 $\mathrm{P}$는 $\mathrm{F}$에서 원에 그은 접선 위에 존재한다. 그런데 점 $\mathrm{F}$에서 선분 $\mathrm{CE}$에 내린 수선의 발은 선분 $\mathrm{CE}$를 수직이등분하므로 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{CE}$의 중점이고 점 $\mathrm{P}$에서 직선 $\mathrm{PF}$와 원이 접한다.

점 $\mathrm{P}$에서 선분 $\mathrm{EF}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{J}$라 할 때, $\displaystyle \overline{\mathrm{EJ}} = 2$이다. 구의 중심을 지나며 직육면체의 밑면에 평행한 평면으로 주어진 입체를 자른 단면을 $\alpha$라 하자.

$S _{1}$은 위 그림의 어두운 부분에 의해서 평면 $\mathrm{PFGQ}$에 생기는 그림자의 넓이와 같다. 평면 $\alpha$와 평면 $\mathrm{PFGQ}$가 이루는 각은 $30 ^\circ$이므로 $\displaystyle S _{1} \cos 30 ^\circ = \frac{32}{3} \pi + 4 \sqrt{3}$ ∴ $\displaystyle S _{1} = \frac{64}{3 \sqrt{3}} \pi + 8$

$S _{2}$은 위 그림의 어두운 부분에 의해서 평면 $\mathrm{EPQH}$에 생기는 그림자의 넓이와 같다. 평면 $\alpha$와 평면 $\mathrm{EPQH}$가 이루는 각은 $60 ^\circ$이므로 $S _{2} \cos 60 ^\circ$$\displaystyle = \frac{16}{3} \pi - 4 \sqrt{3}$ ∴ $S _{2}$$\displaystyle = \frac{32}{3} \pi - 8 \sqrt{3}$ ∴ $\displaystyle S _{1} + \frac{1}{\sqrt{3}} S _{2}$$\displaystyle = \left( \frac{64}{3 \sqrt{3}} \pi + 8 \right) + \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \frac{32}{3} \pi - 8 \sqrt{3} \right)$ $\displaystyle = \frac{32}{\sqrt{3}} \pi$$\displaystyle = \frac{32 \sqrt{3}}{3} \pi$