구 단면 정사영 넓이

[출제의도] 수학 내적 문제 해결능력-공간도형과 공간벡터 세 점 $A ( 1 , 0 , 0 ) , B ( 0 , 2 , 0 ) , C ( 0 , 0 , 2 )$를 지나는 구의 중심의 좌표를 $( a , b , c )$라 하면 $( a - 1 ) ^{2} + b ^{2} + c ^{2} = a ^{2} + ( b - 2 ) ^{2} + c ^{2} = a ^{2} + b ^{2} + ( c - 2 ) ^{2}$ 정리하면 $- 2 a + 1 = - 4 b + 4 = - 4 c + 4$에서 $\displaystyle c = b , a = 2 b - \frac{3}{2} \cdots \text{㉠}$ 세 점 $A ( 1 , 0 , 0 ) , B ( 0 , 2 , 0 ) , C ( 0 , 0 , 2 )$를 지나는 평면의 방정식은 $\displaystyle x + \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = 1$에서 $2 x + y + z = 2$ 구 $S$의 중심 $( a , b , c )$는 평면 $2 x + y + z = 2$위의 점이므로 $2 a + b + c = 2 \cdots \text{㉡}$ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle b = c = \frac{5}{6} , a = \frac{1}{6}$ 따라서 구의 방정식은 $\displaystyle \left( x - \frac{1}{6} \right) ^{2} + \left( y - \frac{5}{6} \right) ^{2} + \left( z - \frac{5}{6} \right) ^{2} = \frac{25}{12}$ 이고 여기에 $y = 2$를 대입하면 $\displaystyle \left( x - \frac{1}{6} \right) ^{2} + \left( z - \frac{5}{6} \right) ^{2} = \frac{13}{18}$ 따라서 구 $S$와 평면 $y = 2$가 만나서 생긴 도형의 넓이는 $\displaystyle \frac{13}{18} \pi$이다. 한편 두 평면 $2 x + y + z = 2 , y = 2$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 하면 $\displaystyle \cos \theta = \frac{1 \times 1}{\sqrt{2 ^{2} + 1 ^{2} + 1 ^{2}} \times \sqrt{1 ^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$이므로 구하는 넓이는 $\displaystyle \frac{13}{18} \pi \times \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{13 \sqrt{6}}{108} \pi$ 따라서 $p + q = 121$