기하공간도형과 공간좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

구 단면 정사영

문제

그림과 같이 평면 $\alpha$ 위에 놓여 있는 서로 다른 네 구 $S$ , $S _{1}$ , $S _{2}$ , $S _{3}$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $S$ 의 반지름의 길이는 3이고, $S _{1}$ , $S _{2}$ , $S _{3}$ 의 반지름의 길이는 1이다. (나) $S _{1}$ , $S _{2}$ , $S _{3}$ 은 모두 $S$ 에 접한다. (다) $S _{1}$ 은 $S _{2}$ 와 접하고, $S _{2}$ 는 $S _{3}$ 과 접한다.

$S _{1}$ , $S _{2}$ , $S _{3}$ 의 중심을 각각 $O _{1}$ , $O _{2}$ , $O _{3}$ 이라 하자. 두 점 $O _{1}$ , $O _{2}$ 를 지나고 평면 $\alpha$ 에 수직인 평면을 $\beta$ , 두 점 $O _{2}$ , $O _{3}$ 을 지나고 평면 $\alpha$ 에 수직인 평면이 $S _{3}$ 과 만나서 생기는 단면을 $D$ 라 하자. 단면 $D$ 의 평면 $\beta$ 위로의 정사영의 넓이를 $\displaystyle \frac{q}{p} \pi$ 라 할 때, $p + q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

평면과 평면이 이루는 각을 단면화 시켜서 관찰하기 위하여 우선 도형을 옆에서 관찰하면 다음과 같다.

$\mathrm{S}$ 의 중심을 $\mathrm{O}$ 라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OO} _{1}} = 4$ , $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}} = 2$ 이고 $\displaystyle \therefore \overline{\mathrm{O} _{1} H} = 2 \sqrt{3}$ 위에서 이 도형의 이면각 $\theta$ 를 표현하기 위해 $\mathrm{O} _{1} , O _{2} , O _{3} , H$ 를 포함하는 평면으로 자른 단면을 그려보면 다음과 같다.

이때, $\displaystyle \sin \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2 \sqrt{3}}$ $\displaystyle \cos \theta = 1 - 2 \sin ^{2} \frac{\theta}{2}$ $\displaystyle = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ 도형 $\mathrm{D}$ 의 단면의 넓이는 $\pi$ 이므로 정사영의 넓이는 $\displaystyle {\pi} \times \frac{5}{6}$ 이다 $\therefore p + q = 11$

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