미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

곱의 미분과 적분

문제

양의 실수를 정의역으로 하는 두 함수 $f ( x ) = x$ , $h ( x ) = \ln x$ 에 대하여 다음 두 조건을 모두 만족하는 함수 $g ( x )$ 가 있다. 이때, $g ( e )$ 의 값은? [3점]


	(가) $f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g' ( x ) = h ( x )$ (나) $g ( 1 ) = - 1$

① $- 2$ ② $- 1$ ③ $0$ ④ $1$ ⑤ $2$

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③

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[출제의도] 미분과 적분의 관계를 이용하여 함수 추론하기 $\left\{ f ( x ) g ( x ) \right\}' = h ( x )$ 이므로 $\displaystyle f ( x ) g ( x ) = \int _{} ^{} {h ( x )} dx$ $\displaystyle x g ( x ) = \int _{} ^{} {\ln x dx}$ 부분적분법을 이용하여 정리하면 $x g ( x ) = x \ln x - x + C$ $1 \times g ( 1 ) = - 1 + C = - 1$ $\therefore C = 0$ $\therefore g ( x ) = \ln x - 1$ $\therefore g ( e ) = 0$

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