곱의 미분 역이용

[출제의도] 이해능력-적분법 함수 $f ( x )$에 대하여 $\displaystyle f ( x ) + x f' ( x ) = \frac{d}{dx} \left\{ x f ( x ) \right\} = x ^{2} e ^{x}$이므로 $\displaystyle x f ( x ) = \int _{} ^{} {} x ^{2} e ^{x} dx = x ^{2} e ^{x} - \int _{} ^{} {} 2 x e ^{x} dx$ $\displaystyle = x ^{2} e ^{x} - \left( 2 xe ^{x} - \int _{} ^{} {} 2 e ^{x} dx \right)$ $= x ^{2} e ^{x} - 2 x e ^{x} + 2 e ^{x} + C$ $= e ^{x} ( x ^{2} - 2 x + 2 ) + C$($C$는 적분상수) 이때, $f ( 1 ) = e + C = e$이므로 $C = 0$ 따라서 $x f ( x ) = e ^{x} ( x ^{2} - 2 x + 2 )$ 이때 $x = 2$를 대입하면 $2 f ( 2 ) = 2 e ^{2}$ $f ( 2 ) = e ^{2}$