곱의 합 최댓값

[출제의도] 산술기하평균의 성질을 이용하여 최댓값 계산하기 $\displaystyle a ^{2} + b ^{2} \geq 2 \sqrt{a ^{2} b ^{2}}$, 즉 $a ^{2} + b ^{2} \geq 2 \left| ab \right|$ $\displaystyle c ^{2} + d ^{2} \geq 2 \sqrt{c ^{2} d ^{2}}$, 즉 $c ^{2} + d ^{2} \geq 2 \left| cd \right|$ $a ^{2} + b ^{2} = 31$, $c ^{2} + d ^{2} = 27$ 이므로 $\displaystyle \left| ab \right| \leq \frac{31}{2}$, $\displaystyle \left| cd \right| \leq \frac{27}{2}$ $\displaystyle \therefore - \frac{31}{2} \leq ab \leq \frac{31}{2}$, $\displaystyle - \frac{27}{2} \leq cd \leq \frac{27}{2}$ $ab$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{31}{2}$, $cd$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{27}{2}$이므로 $ab + cd$ 의 최댓값은 $29$이다.