공통수학1다항식의 연산수능 기출기본 문제 (3점 중반)

곱셈공식 변형

문제

x+y+z=0x + y + z = 0, x2+y2+z2=5x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 5일 때, x2y2+y2z2+z2x2=qp\displaystyle x ^{2} y ^{2} + y ^{2} z ^{2} + z ^{2} x ^{2} = \frac{q}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp, qq는 서로소인 자연수이다.) [3점]

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29

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해설

[출제의도] 다항식을 이용하여 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. (x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)( x + y + z ) ^{2} = x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} + 2 ( xy + yz + zx )…㉠ x+y+z=0x + y + z = 0, x2+y2+z2=5x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} = 5이므로 ㉠에 각 식의 값을 대입하면 02=5+2(xy+yz+zx)0 ^{2} = 5 + 2 ( xy + yz + zx ) 즉, xy+yz+zx=−52\displaystyle xy + yz + zx = - \frac{5}{2}…㉡ ㉡의 양변을 각각 제곱하면 (xy+yz+zx)2=(−52)2\displaystyle ( xy + yz + zx ) ^{2} = \left( - \frac{5}{2} \right) ^{2} 그런데 (xy+yz+zx)2( xy + yz + zx ) ^{2}=(xy)2+(yz)2+(zx)2+2(xy2z+xyz2+x2yz)= ( xy ) ^{2} + ( yz ) ^{2} + ( zx ) ^{2} + 2 ( xy ^{2} z + xyz ^{2} + x ^{2} yz ) =(xy)2+(yz)2+(zx)2+2xyz(y+z+x)= ( xy ) ^{2} + ( yz ) ^{2} + ( zx ) ^{2} + 2 xyz ( y + z + x ) 그러므로 x2y2+y2z2+z2x2=(xy+yz+zx)2−2xyz(x+y+z)x ^{2} y ^{2} + y ^{2} z ^{2} + z ^{2} x ^{2} = ( xy + yz + zx ) ^{2} - 2 xyz ( x + y + z )=254\displaystyle = \frac{25}{4} 따라서 p=4p = 4, q=25q = 25이므로 p+q=29p + q = 29

태그

#곱셈공식

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