곱셈에 닫힌 복소수 집합

[출제의도] 연산의 성질을 이용하여 집합의 원소를 추측한다. 집합 $A$가 곱셈에 대하여 닫혀있으므로 집합 $A$의 모든 원소에 $a$를 곱하면 $\left\{ a ^{2} , ab , ac \right\}$ $\left\{ a ^{2} , ab , ac \right\} = \left\{ a , b , c \right\}$이므로 각 집합의 모든 원소의 곱이 같다. 즉, $a ^{4} bc = a bc$ $a , b , c$의 곱셈에 대한 역원이 모두 존재하므로 $abc$의 역원 $\displaystyle \frac{1}{abc}$을 양변에 곱하면 $a ^{3} = 1$ 마찬가지 방법으로 $b ^{3} = 1 ,$ $c ^{3} = 1$ 따라서 $a ^{3} + b ^{3} + c ^{3}$$= 1 + 1 + 1$$= 3$ [다른 풀이] (나)에서 모든 원소의 곱셈에 대한 역원이 존재하므로 곱셈에 대한 항등원 $1$은 집합 $A$의 원소이다. 이 때, $a \ne 1$, $a \in A$이면 $\displaystyle \frac{1}{a} \in A$ 그러므로 $\displaystyle A = \left\{ 1 , a , \frac{1}{a} \right\}$ 집합 $A$가 곱셈에 대하여 닫혀있으므로 $a ^{2} = 1$ 또는 $a ^{2} = a$ 또는 $\displaystyle a ^{2} = \frac{1}{a}$이다. (ⅰ) $a ^{2} = 1$이면 $a \ne 1$이므로 $a = - 1$이다. $a = - 1$이면 $\displaystyle \frac{1}{a} = a$이므로 집합 $A$의 원소의 개수가 $2$가 되어 모순 (ⅱ) $a ^{2} = a$이면 $a \ne 1$이므로 $a = 0$이다. 그러므로 $a$의 곱셈에 대한 역원이 존재하지 않게 되어 모순 (ⅰ), (ⅱ)에 의해 $\displaystyle a ^{2} = \frac{1}{a}$이므로 $a ^{3} = 1$ $\displaystyle A = \left\{ 1 , a , \frac{1}{a} \right\}$이고 문제에서 $A = \left\{ a , b , c \right\}$이므로 $b = 1$, $\displaystyle c = \frac{1}{a}$이라고 할 수 있다. 따라서 $\displaystyle a ^{3} + b ^{3} + c ^{3} = a ^{3} + 1 ^{3} + \left( \frac{1}{a} \right) ^{3}$ $\displaystyle = a ^{3} + 1 + \frac{1}{a ^{3}}$ $\displaystyle = 1 + 1 + \frac{1}{1}$ $= 3$