곱이 720인 순서쌍

$720 = 2 ^{4} \times 3 ^{2} \times 5$이다. (ⅰ) $b = 1$인 경우 $ac = 2 ^{4} \times 3 ^{2} \times 5$이므로 $a$, $c$는 $2 ^{4} \times 3 ^{2} \times 5$의 약수이다. 가능한 순서쌍 $\left( a , c \right)$의 개수는 $2 ^{4} \times 3 ^{2} \times 5$의 약수의 개수와 같으므로 $\left( 4 + 1 \right) \times \left( 2 + 1 \right) \times \left( 1 + 1 \right) = 5 \times 3 \times 2 = 30$ 이 중 $a$와 $c$가 서로소인 경우는 $a$와 $c$의 공약수가 $\mathrm{1}$뿐인 경우이므로 $2 ^{4}$이 $a$ 또는 $c$의 약수이고 $3 ^{2}$이 $a$ 또는 $c$의 약수이고 $\mathrm{5}$가 $a$ 또는 $c$의 약수인 순서쌍 $\left( a , c \right)$의 개수는 $\displaystyle {} _{2} \prod _{3} = 8$ 서로소가 아닌 자연수 $a$, $c$의 모든 순서쌍 $\left( a , c \right)$의 개수는 $30 - 8 = 22$ (ⅱ) $b = 2$인 경우 $ac = 2 ^{2} \times 3 ^{2} \times 5$이므로 $a$, $c$는 $2 ^{2} \times 3 ^{2} \times 5$의 약수이다. 가능한 순서쌍 $\left( a , c \right)$의 개수는 $2 ^{2} \times 3 ^{2} \times 5$의 약수의 개수와 같으므로 $\left( 2 + 1 \right) \times \left( 2 + 1 \right) \times \left( 1 + 1 \right) = 3 \times 3 \times 2 = 18$ 이 중 $a$와 $c$가 서로소인 경우는 $a$와 $c$의 공약수가 $\mathrm{1}$뿐인 경우이므로 $2 ^{2}$이 $a$ 또는 $c$의 약수이고 $3 ^{2}$이 $a$ 또는 $c$의 약수이고 $\mathrm{5}$가 $a$ 또는 $c$의 약수인 순서쌍 $\left( a , c \right)$의 개수는 $\displaystyle {} _{2} \prod _{3} = 8$ 서로소가 아닌 자연수 $a$, $c$의 모든 순서쌍 $\left( a , c \right)$의 개수는 $18 - 8 = 10$ (ⅲ) $b = 3$인 경우 $ac = 2 ^{4} \times 5$이므로 $a$, $c$는 $2 ^{4} \times 5$의 약수이다. 가능한 순서쌍 $\left( a , c \right)$의 개수는 $2 ^{4} \times 5$의 약수의 개수와 같으므로 $\left( 4 + 1 \right) \times \left( 1 + 1 \right) = 5 \times 2 = 10$ 이 중 $a$와 $c$가 서로소인 경우는 $a$와 $c$의 공약수가 $\mathrm{1}$뿐인 경우이므로 $2 ^{4}$이 $a$ 또는 $c$의 약수이고 $\mathrm{5}$가 $a$ 또는 $c$의 약수인 순서쌍 $\left( a , c \right)$의 개수는 $\displaystyle {} _{2} \prod _{2} = 4$ 서로소가 아닌 자연수 $a$, $c$의 모든 순서쌍 $\left( a , c \right)$의 개수는 $10 - 4 = 6$ (ⅳ) $b = 4$인 경우 $ac = 3 ^{2} \times 5$이므로 $a$와 $c$가 서로소가 아닌 모든 순서쌍 $\left( a , c \right)$는 $\left( 3 , 15 \right)$ 또는 $\left( 15 , 3 \right)$이므로 순서쌍의 개수는 $\mathrm{2}$ (ⅴ) $b = 6$인 경우 $ac = 2 ^{2} \times 5$이므로 $a$와 $c$가 서로소가 아닌 모든 순서쌍 $\left( a , c \right)$는 $\left( 2 , 10 \right)$ 또는 $\left( 10 , 2 \right)$이므로 순서쌍의 개수는 $\mathrm{2}$ (ⅵ) $b = 12$인 경우 조건을 만족하는 순서쌍 $( a , b )$는 존재하지 않는다. (ⅰ)$\sim$(ⅵ)에 의하여 구하는 경우의 수는 $22 + 10 + 6 + 2 + 2 = 42$