곱이 180인 순서쌍

[출제의도] 중복조합을 이해하여 순서쌍의 개수를 구한다. $180 = 2 ^{2} \times 3 ^{2} \times 5$이므로 조건 (가)를 만족하는 $\left( a , b , c \right)$의 개수는 $a = 2 ^{x _{1}} 3 ^{y _{1}} 5 ^{z _{1}}$, $b = 2 ^{x _{2}} 3 ^{y _{2}} 5 ^{z _{2}}$, $c = 2 ^{x _{3}} 3 ^{y _{3}} 5 ^{z _{3}}$에서 (단, $i = 1 , 2 , 3$에 대하여 $x _{i} , y _{i} , z _{i}$는 음이 아닌 정수) $x _{1} + x _{2} + x _{3} = 2$, $y _{1} + y _{2} + y _{3} = 2$, $z _{1} + z _{2} + z _{3} = 1$ $\mathrm{\mathrm{_{3}}} H _{2} \times _{3} H _{2} \times _{3} H _{1}$$= \mathrm{_{4}} C _{2} \times _{4} C _{2} \times _{3} C _{1}$$= 108$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 조건 (나)는 $a \ne b$, $b \ne c$, $c \ne a$이므로 이를 만족하지 않는 경우는 $a = b$ 또는 $a = c$ 또는 $b = c$이다. 이 중 $a = b = c$인 경우는 존재하지 않는다. $a$, $b$, $c$ 중 두 수가 같은 순서쌍은 $( 1 , 1 , 180 )$, $( 2 , 2 , 45 )$, $( 3 , 3 , 20 )$, $( 6 , 6 , 5 )$ $( 1 , 180 , 1 )$, $( 2 , 45 , 2 )$, $( 3 , 20 , 3 )$, $( 6 , 5 , 6 )$ $( 180 , 1 , 1 )$, $( 45 , 2 , 2 )$, $( 20 , 3 , 3 )$, $( 5 , 6 , 6 )$이므로 조건 (나)를 만족하지 않는 순서쌍의 개수는 $12$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 따라서 ㉠, ㉡에 의하여 $108 - 12 = 96$