미적분Ⅰ함수의 연속수능 기출기본 문제 (3점 중반)

곱함수의 연속성

문제

함수 $y = f ( x )$ 의 그래프가 오른쪽 그림과 같이 주어져 있다. 아래의 그래프로 각각 주어진 함수 $y = g _{1} ( x )$ , $y = g _{2} ( x )$ , $y = g _{3} ( x )$ 중에서 $f ( x )$ 와 곱하여 얻어지는 함수 $y = f ( x ) g _{k} ( x )$ $( k = 1 , 2 , 3 )$ 이 구간 $[ - 1 , 3 ]$ 에서 연속이 되는 $g _{k} ( x )$ 를 모두 고르면? [1점]

① $g _{1} ( x )$ ② $g _{2} ( x )$ ③ $g _{1} ( x ) , g _{2} ( x )$ ④ $g _{1} ( x ) , g _{3} ( x )$ ⑤ $g _{1} ( x ) , g _{2} ( x ) , g _{3} ( x )$

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⑤

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해설

주어진 그래프를 이용하면 $\displaystyle f ( x ) = \begin{cases} - 2 x & ( - 1 \leq x \leq 0 ) \\ 0 & ( 0 \leq x \leq 2 ) \\ 2 x - 4 & ( 2 \leq x \leq 3 ) \end{cases}$ $\displaystyle g _{1} ( x ) = \begin{cases} x & ( x \leq 1 ) \\ - x + 2 & ( x \geq 1 ) \end{cases}$ , $\displaystyle g _{2} ( x ) = \begin{cases} 1 & ( x < 0 ) \\ 2 & ( x = 0 ) \\ 3 & ( x > 0 ) \end{cases}$ $\displaystyle g _{3} ( x ) = \begin{cases} 1 & ( x < 2 ) \\ - x + 2 & ( x \geq 2 ) \end{cases}$ 이고 따라서, $\displaystyle f ( x ) g _{1} ( x ) = \begin{cases} - 2 x ^{2} & ( - 1 \leq x \leq 0 ) \\ 0 & ( 0 \leq x \leq 2 ) \\ ( 2 x - 4 ) ( - x + 2 ) & ( 2 \leq x \leq 3 ) \end{cases}$ 이고 $f ( 0 ) g _{1} ( 0 ) = 0 , f ( 2 ) g _{1} ( 2 ) = 0$ 이므로 연속이다. $\displaystyle f ( x ) g _{2} ( x ) = \begin{cases} - 2 x & ( - 1 \leq x \leq 0 ) \\ 0 & ( 0 \leq x \leq 2 ) \\ 3 ( 2 x - 4 ) & ( 2 \leq x \leq 3 ) \end{cases}$ 이고 $f ( 0 ) g _{2} ( 0 ) = 0 , f ( 2 ) g _{2} ( 2 ) = 0$ 이므로 연속이다. $\displaystyle f ( x ) g _{3} ( x ) = \begin{cases} - 2 x & ( - 1 \leq x \leq 0 ) \\ 0 & ( 0 \leq x \leq 2 ) \\ ( 2 x - 4 ) ( - x + 2 ) & ( 2 \leq x \leq 3 ) \end{cases}$ 이고 $f ( 0 ) g _{3} ( 0 ) = 0 , f ( 2 ) g _{3} ( 2 ) = 0$ 이므로 연속이다.

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