곱함수의 연속 조건

[출제의도] 함수의 연속 문제해결하기 주어진 이차함수 $f \left( x \right)$는 축의 방정식이 $x = 4$이고 (가)에서 방정식 $f \left( x \right) = 0$은 열린 구간 $\left( 0 , 2 \right)$에서 적어도 하나의 실근을 가지므로 $f \left( 0 \right) = a > 0$, $f \left( 2 \right) = a - 12 < 0$ $\therefore$ $0 < a < 12$ (나)에서 $f \left( a \right) g \left( a \right) = 7 a ^{2} \left( a - 7 \right)$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a +} {f \left( x \right) g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow a +} {\left( x ^{2} - 8 x + a \right) \left( 2 x ^{} + 5 a \right)}}$ $= 7 a ^{2} \left( a - 7 \right)$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow a -} {f \left( x \right) g \left( x \right)} = \lim\limits _{x \rightarrow a -} {\left( x ^{2} - 8 x + a \right) f \left( x ^{} + 4 \right)}$$= \left( a ^{2} - 8 a + a \right) \left\{ \left( a + 4 \right) ^{2} - 8 \left( a + 4 \right) + a \right\}$ $= a \left( a - 7 \right) \left( a ^{2} + a - 16 \right)$ 이고 함수 $f \left( x \right) g \left( x \right)$가 $x = a$에서 연속이므로 $7 a ^{2} \left( a - 7 \right) = a \left( a - 7 \right) \left( a ^{2} + a - 16 \right)$ $a \left( a - 7 \right) \left( a - 8 \right) \left( a + 2 \right) = 0$ $\therefore$ $a = 7$ 또는 $a = 8$ ($\because$ $0 < a < 12$) 따라서 모든 실수 $a$의 값의 곱은 $56$