미적분Ⅰ함수의 연속수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

곱함수의 연속 조건

문제

다항함수 f(x)f ( x )가 lim⁡x→∞f(x)x2=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\frac{f ( x )}{x ^{2}} = 1}, lim⁡x→1f(x)x−1=k\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{f ( x )}{x - 1} = k} 를 만족시키고, 함수 g(x)g \left( x \right)는 g(x)={x+1(x≤2)2−x(x>2)\displaystyle g \left( x \right) = {\begin{cases} x + 1 & \left( x \leq 2 \right) \\ 2 - x & \left( x > 2 \right) \end{cases}} 이다. 함수 h(x)=f(x)g(x)h \left( x \right) = f ( x ) g ( x )가 x=2x = 2에서 연속이 되도록 하는 상수 kk의 값은? [4점] ①−2- 2②−1- 1③00④11⑤22

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②

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해설

[출제의도] 함수의 연속 이해하기 lim⁡x→∞f(x)x2=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\frac{f ( x )}{x ^{2}} = 1}이므로 f(x)f ( x )는 최고차항의 계수가 11인 이차함수 lim⁡x→1f(x)x−1=k\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{f ( x )}{x - 1} = k}이므로 f(x)=(x−1)(x−a)f ( x ) = ( x - 1 ) ( x - a ) lim⁡x→1f(x)x−1=1−a=k\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{f ( x )}{x - 1} = 1 - a = k} h(x)=f(x)g(x)h ( x ) = f ( x ) g ( x )가 x=2x = 2에서 연속이므로 h(2)=lim⁡x→2+0h(x)=lim⁡x→2−0h(x)\displaystyle h ( 2 ) = \lim\limits _{x \rightarrow 2 + 0} {h ( x )} = \lim\limits _{x \rightarrow 2 - 0} {h ( x )} h(2)=f(2)g(2)=3(2−a)h ( 2 ) = f ( 2 ) g ( 2 ) = 3 \left( 2 - a \right) lim⁡x→2+0h(x)=lim⁡x→2+0(x−1)(x−a)(2−x)=0\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 + 0} {h ( x )} = \lim\limits _{x \rightarrow 2 + 0} {\left( x - 1 \right) \left( x - a \right) \left( 2 - x \right) = 0} lim⁡x→2−0h(x)=lim⁡x→2−0(x−1)(x−a)(x+1)\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2 - 0} {h ( x )} = \lim\limits _{x \rightarrow 2 - 0} {\left( x - 1 \right) \left( x - a \right) \left( x + 1 \right)}=3(2−a)= 3 \left( 2 - a \right) 따라서 a=2a = 2이므로 k=−1k = - 1

태그

#연속#다항함수 결정

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