곱함수의 연속

$0 < x < 1$일 때, $\displaystyle f ( x ) = \frac{x - 1}{x}$ $1 < x < 2$일 때, $\displaystyle f ( x ) = \frac{2 - x}{x - 1}$ ㄱ. $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1-0} f ( x ) g ( x ) = \lim\limits _{x\rightarrow 1-0} \frac{( x - 1 ) ^{3}}{x} = 0$, $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1+0} f ( x ) g ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 1+0} ( 2 - x ) ( x - 1 ) = 0$ ∴ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1} f ( x ) g ( x ) = 0$ 이 때, $f ( 1 ) g ( 1 ) = 0 \times 0 = 0$이므로 $y = f ( x ) g ( x )$는 $x = 1$에서 연속이다. ㄴ. $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1-0} f ( x ) g ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 1-0} \frac{x - 1}{x} \{ ( x - 1 ) ^{3} + 1 \}$$= 0$ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1+0} f ( x ) g ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 1+0} \frac{2 - x}{x - 1} \{ ( x - 1 ) ^{3} + 1 \}$$= \infty$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1} f ( x ) g ( x )$의 값이 존재하지 않으므로 $y = f ( x ) g ( x )$는 $x = 1$에서 불연속이다. ㄷ. $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1-0} f ( x ) g ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 1-0} \frac{x - 1}{x} ( x ^{2} + 1 )$$= 0$ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1+0} f ( x ) g ( x )$$\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 1+0} \frac{2 - x}{x - 1} ( x - 1 ) ^{3}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 1+0} ( 2 - x ) ( x - 1 ) ^{2} = 0$ ∴ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1} f ( x ) g ( x ) = 0$ 이 때, $f ( 1 ) g ( 1 ) = 0 \times 2 = 0$이므로 $y = f ( x ) g ( x )$는 $x = 1$에서 연속이다. 따라서 연속인 것은 ㄱ, ㄷ이다. <참고> $\displaystyle y = \frac{1}{x} - 1$의 그래프는 $\displaystyle y = \frac{1}{x}$의 그래프를 $y$축의 방향으로 $- 1$만큼 평행이동한 것이고, $\displaystyle y = \frac{1}{x - 1} - 1$의 그래프는 $\displaystyle y = \frac{1}{x}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $1$만큼, $y$축의 방향으로 $- 1$만큼 평행이동한 것이다. 이를 이용하여 $f ( x )$와 $g ( x )$의 그래프를 그려서 생각하면 좀 더 쉽게 연속성을 파악할 수 있다.