곱함수 연속 조건

[출제의도] 함수의 연속에 대한 성질을 이해한다. $h ( x ) = f ( x ) g ( x )$라 하자. $x \ne 1$일 때, 두 함수 $f ( x )$와 $g ( x )$는 연속이므로 함수 $h ( x )$도 연속이다. 그러므로 함수 $h ( x )$가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 함수 $h ( x )$가 $x = 1$에서 연속이어야 한다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {h ( x )} = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} \frac{2 x ^{3} + ax + b}{x - 1}$의 값이 존재하므로 $2 + a + b = 0$, 즉 $b = \mathit{-} a - 2$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {h ( x )}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} \frac{2 x ^{3} + ax - a - 2}{x - 1}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} \frac{\left( x - 1 \right) \left( 2 x ^{2} + 2 x + a + 2 \right)}{x - 1}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {( 2 x ^{2} + 2 x + a + 2 )}$$= a + 6$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {h ( x )}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} \frac{2 x ^{3} + ax - a - 2}{2 x + 1}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} \frac{\left( x - 1 \right) \left( 2 x ^{2} + 2 x + a + 2 \right)}{2 x + 1} = 0$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {h ( x )}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} h ( x ) = h ( 1 )$이므로 $a + 6 = 0$, 즉 $a = \mathit{-} 6$ $b$$= \mathit{-} a - 2$에서 $b = 4$ 따라서 $b - a = 10$