미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

곱 점화식 홀짝 급수

문제

다음과 같이 귀납적으로 정의된 수열 {ana _{n}}이 있다. a1=2a _{1} = 2, an+1an=(14)n\displaystyle a _{n+1} a _{n} = \left( \frac{1}{4} \right) ^{n} (n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots) 이 때, ∑n=1∞a2n−1+∑n=1∞a2n\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} a _{2 n - 1} + \sum\limits _{n=1} ^{\infty} a _{2 n}의 값은? [3점] ①176\displaystyle \frac{17}{6}②196\displaystyle \frac{19}{6}③72\displaystyle \frac{7}{2}④236\displaystyle \frac{23}{6}⑤256\displaystyle \frac{25}{6}

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①

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해설

주어진 점화식에 nn대신 2n−12 n - 1을 대입하면 a2na2n−1=(14)2n−1\displaystyle a _{2n} a _{2n-1} = \left( \frac{1}{4} \right) ^{2n-1} ⋯⋯\cdots \cdots (1) 또, 주어진 점화식에 nn대신 2n2 n을 대입하면 a2n+1a2n=(14)2n\displaystyle a _{2n+1} a _{2n} = \left( \frac{1}{4} \right) ^{2n} ⋯⋯\cdots \cdots (2) (1)식을 정리해서 (2)식에 대입해서 점화식을 유도하면 a2n+1=14a2n−1\displaystyle a _{2n+1} = \frac{1}{4} a _{2n-1} 주어진 수열은 초항이 2이고 공비가 14\displaystyle \frac{1}{4}인 등비수열이다. 마찬가지로, 짝수항들에 대해서도 점화식을 유도하면 초항이 18\displaystyle \frac{1}{8}, 공비가 14\displaystyle \frac{1}{4}인 등비수열이 된다. ∴\therefore수열의 합 =83+16=176\displaystyle = \frac{8}{3} + \frac{1}{6} = \frac{17}{6}

태그

#점화식#등비급수

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