공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

곱 다항식으로 나타낸 항등식

문제

자연수 $n$ 에 대하여 $n$ 차 다항식 $P _{n} ( x ) = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) \cdots ( x - n )$ 이라 할 때, $2 x ^{3} - 3 x ^{2} + 1 = a + bP _{1} ( x ) + cP _{2} ( x ) + dP _{3} ( x )$ 는 $x$ 에 대한 항등식이다. 상수 $a , b , c , d$ 의 합 $a + b + c + d$ 의 값을 구하시오. [3점]

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[출제의도] 항등식의 성질 이해하기 $\begin{aligned} 2 x ^{3} - 3 x ^{2} + 1 & = a + b ( x - 1 ) + c ( x - 1 ) ( x - 2 ) \end{aligned}$ $+ d ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 )$ 이 $x$ 에 대한 항등식이므로 최고차항의 계수를 비교하면 $d = 2$ 등식의 양변에 $x = 1$ 을 대입하면 $a = 0$ 등식의 양변에 $x = 2$ 를 대입하면 $a + b = 5$ , $b = 5$ 등식의 양변에 $x = 3$ 을 대입하면 $a + 2 b + 2 c = 28$ , $c = 9$ $\therefore a + b + c + d = 16$

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