공통내접선의 길이로 중심 구하기

두 원의 중심은 각각 $\mathrm{O} ( 0 , 0 )$, $\mathrm{A} ( a , 0 )$이고 반지름의 길이는 각각 $2$, $4$이다. 직선 $\mathrm{PQ}$는 두 원의 접선이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} \perp \overline{\mathrm{PQ}}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}} \perp \overline{\mathrm{PQ}}$이다. 점 $\mathrm{A}$를 지나고 직선 $\mathrm{PQ}$에 평행한 직선이 직선 $\mathrm{OP}$와 만나는 점을 $\mathrm{H}$라 하자. 사각형 $\mathrm{PQAH}$는 직사각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}} = \overline{\mathrm{PQ}} = \mathit{8}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{PH}} = \overline{\mathrm{AQ}} = \mathit{4}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}} = \overline{\mathrm{OP}} + \overline{\mathrm{PH}} = \mathit{2} + 4 = 6$ 직각삼각형 $\mathrm{OHA}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} ^{2} = 6 ^{2} + 8 ^{2} = 100$ $a > 6 > 0$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} = a = 10$ 따라서 $a = 10$ (검산: 중심거리 $10$, 반지름의 합 $6$이므로 공통내접선의 길이는 $\displaystyle \sqrt{10 ^{2} - 6 ^{2}} = 8$이다.)