공통수학2원의 방정식AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

공통접선이 2개가 되는 반지름의 개수

문제

두 원 x2+y2=25x ^{2} + y ^{2} = 25, (x−9)2+(y−12)2=r2( x - 9 ) ^{2} + ( y - 12 ) ^{2} = r ^{2} 의 공통접선의 개수가 22가 되도록 하는 자연수 rr의 개수는? [3점] ①77②88③99④1010⑤1111

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③

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해설

두 원의 중심은 각각 (0,0)( 0 , 0 ), (9,12)( 9 , 12 )이고 반지름의 길이는 각각 55, rr이다. 중심 사이의 거리는 92+122=15\displaystyle \sqrt{9 ^{2} + 12 ^{2}} = 15 두 원의 공통접선이 22개인 것은 두 원이 서로 다른 두 점에서 만날 때이다. (서로 밖에 있으면 44개, 외접하면 33개, 내접하면 11개, 한 원이 다른 원의 안에 있으면 00개) 두 원이 서로 다른 두 점에서 만나려면 ∣r−5∣<15<r+5\left| r - 5 \right| < 15 < r + 5 15<r+515 < r + 5에서 r>10r > 10 ∣r−5∣<15\left| r - 5 \right| < 15에서 −10<r<20- 10 < r < 20 따라서 10<r<2010 < r < 20이므로 자연수 rr는 11,12,⋯ ,1911 , 12 , \cdots , 19의 99개이고 답은 ③이다.

태그

#공통접선#두 원의 위치 관계#부등식

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