공통수학2원의 방정식AI기본 문제 (3점 중반)

공통현이 원의 중심을 지날 조건

문제

그림과 같이 두 원 x2+y2=16x ^{2} + y ^{2} = 16, (x−4)2+(y−2)2=k( x - 4 ) ^{2} + ( y - 2 ) ^{2} = k 가 서로 다른 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B} 에서 만나고, 직선 AB\mathrm{AB} 가 원점 O\mathrm{O} 를 지난다. 상수 kk 의 값을 구하시오. [3점]

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해설

(x−4)2+(y−2)2=k( x - 4 ) ^{2} + ( y - 2 ) ^{2} = k 를 전개하면 x2+y2−8x−4y+20−k=0x ^{2} + y ^{2} - 8 x - 4 y + 20 - k = 0 두 원의 방정식을 변끼리 빼면 (x2+y2−16)−(x2+y2−8x−4y+20−k)=0( x ^{2} + y ^{2} - 16 ) - ( x ^{2} + y ^{2} - 8 x - 4 y + 20 - k ) = 0 8x+4y+k−36=08 x + 4 y + k - 36 = 0 이 직선이 직선 AB\mathrm{AB} 이다. 직선 AB\mathrm{AB} 가 원점 (0,0)( 0 , 0 ) 을 지나므로 k−36=0k - 36 = 0 따라서 k=36k = 36

태그

#공통현#원점을 지나는 직선#지름

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