공통현이 지름일 때 사각형의 넓이

$x ^{2} + y ^{2} - 8 x - 4 y + 15 = 0$ 을 변형하면 $\left( x - 4 \right) ^{2} + \left( y - 2 \right) ^{2} = 5$ 이므로 $\mathrm{C} ( 4 , 2 )$ 이고 반지름의 길이는 $\displaystyle \sqrt{5}$ 이다. 두 원의 방정식을 변끼리 빼면 $( x ^{2} + y ^{2} - 25 ) - ( x ^{2} + y ^{2} - 8 x - 4 y + 15 ) = 0$ $8 x + 4 y - 40 = 0$, 즉 $2 x + y - 10 = 0$ 이 직선이 직선 $\mathrm{AB}$ 이고, $2 \times 4 + 2 - 10 = 0$ 이므로 점 $\mathrm{C}$ 를 지난다. 즉 선분 $\mathrm{AB}$ 는 원 $\left( x - 4 \right) ^{2} + \left( y - 2 \right) ^{2} = 5$ 의 지름이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 2 \sqrt{5}$ 또 $\displaystyle \overline{\mathrm{OC}} = \sqrt{4 ^{2} + 2 ^{2}} = 2 \sqrt{5}$ 이고, 두 원의 중심을 잇는 선분 $\mathrm{OC}$ 는 공통현 $\mathrm{AB}$ 를 수직이등분한다. 따라서 사각형 $\mathrm{OACB}$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{OC}} = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{5} \times 2 \sqrt{5} = 10$