공통근 조건

[출제의도] 두 이차방정식을 동시에 만족하는 근을 구할 수 있는가를 묻는 문항이다. 두 이차방정식을 동시에 만족하는 근을 $\alpha$라 하면 $9 \alpha ^{2} + a \alpha + 20 = 0$ … ㉠ $20 \alpha ^{2} + a \alpha + 9 = 0$ … ㉡ ㉠-㉡에서 $- 11 ( \alpha ^{2} - 1 ) = 0$이므로 $\alpha = 1$또는 $\alpha = - 1$이다. $\alpha = 1$이면 $9 + a + 20 = 0$ ∴ $a = - 29$ $\alpha = - 1$이면 $20 - a + 9 = 0$ ∴ $a = 29$ $a > 0$이므로 $a = 29$이다. [다른 풀이] $9 x ^{2} + a x + 20 = 0$의 두 근이 $\alpha$, $\beta$이면 $20 x ^{2} + a x + 9 = 0$의 두 근은 $\displaystyle \frac{1}{\alpha}$, $\displaystyle \frac{1}{\beta}$이다. 그런데 $\displaystyle \alpha \beta = \frac{20}{9} \neq 1$이므로 두 방정식을 동시에 만족하는 근은 $\displaystyle \alpha = \frac{1}{\alpha}$이다. 따라서 $\alpha = 1$또는 $\alpha = - 1$이다. $\alpha = 1$이면 $9 + a + 20 = 0$ ∴ $a = - 29$ $\alpha = - 1$이면 $20 - a + 9 = 0$ ∴ $a = 29$ $a > 0$이므로 $a = 29$이다.