공간 꺾은선 보기

[출제의도] 공간에서 직선의 위치관계를 이해하고 벡터의 크기와 내적을 추측한다. ㄱ. $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = \sqrt{2}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CE}}} = \sqrt{2}$이므로 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{E}$는 점 $\mathrm{C}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\displaystyle \sqrt{2}$인 구 위의 점이다. 따라서 선분 $\mathrm{AE}$가 구의 지름이 될 때 $\left| {\vec{\mathrm{AE}}} \right|$는 최대이고 최댓값은 $\displaystyle 2 \sqrt{2}$이다. (참) ㄴ. 그림과 같이 네 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$가 평면 $\alpha$ 위에 있고 직선 $\mathrm{DE}$가 평면 $\alpha$와 수직이면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} \perp {\overline{DE}}$이지만 두 선분 $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CD}$가 수직이 아닐 때도 있다. (거짓)

ㄷ. $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} \perp {\overline{CD}}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}} \perp {\overline{\mathrm{CD}}}$이므로 직선 $\mathrm{CD}$는 평면 $\mathrm{ABC}$와 수직이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} \perp {\overline{DE}}$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{DE}} = 1$이므로 점 $\mathrm{E}$는 직선 $\mathrm{CD}$와 수직이고 점 $\mathrm{D}$를 지나는 평면 $\beta$ 위에서 점 $\mathrm{D}$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$인 원 $C$ 위의 점이다.

점 $\mathrm{A}$에서 평면 $\beta$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 ${\vec{\mathrm{AC}}} \cdot {\vec{\mathrm{AE}}}$$= {\vec{\mathrm{HD}}} \cdot \left( {\vec{\mathrm{AH}}} + {\vec{\mathrm{HD}}} + {\vec{\mathrm{DE}}} \right)$ $= {\vec{\mathrm{HD}}} \cdot {\vec{\mathrm{AH}}} + {\vec{\mathrm{HD}}} \cdot {\vec{\mathrm{HD}}} + {\vec{\mathrm{HD}}} \cdot {\vec{\mathrm{DE}}}$ $= 0 + \left| {\vec{\mathrm{HD}}} \right| ^{2} + {\vec{\mathrm{HD}}} \cdot {\vec{\mathrm{DE}}}$$= 2 + {\vec{\mathrm{HD}}} \cdot {\vec{\mathrm{DE}}}$ $\displaystyle \leq 2 + \sqrt{2} \times 1 \times {\cos 0}$$\displaystyle = 2 + \sqrt{2}$ (단, 등호는 ${\vec{\mathrm{HD}}} = k {\vec{\mathrm{DE}}}$($k > 0$)일 때 성립한다.) (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ이다.