공 꺼내기 빈칸 추론

[출제의도] 연역적 추론능력(증명)-확률 (ⅰ) 세 수 $a , b , c$가 모두 같을 때, 서로 다른 $n$개의 수에서 2개를 선택하는 경우와 같으므로 $d > M$인 경우의 수는 ${} _{n} C _{2}$이다. (ⅱ) 세 수 $a , b , c$중 두 개만 같을 때, $d > M$인 경우의 수는 서로 다른 $n$개의 수에서 3개를 선택하여 $a , b , c , d$의 값을 정하는 경우와 같으므로, $d > M$인 경우의 수는 ${\square {6}} \times _{n} C _{3}$이다. (ⅲ) 세 수 $a , b , c$가 모두 다를 때, $d > M$인 경우의 수는 ${\square {6 \times _{n} C _{4}}}$이다. 따라서 구하는 경우의 수는 ${} _{n} C _{2} + 6 \times _{n} C _{3} + 6 \times _{n} C _{4}$ $\displaystyle = \frac{n ( n + 1 )}{2} + n ( n - 1 ) ( n - 2 ) + \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 )}{4}$ $\displaystyle = \frac{n ( n - 1 )}{4} \left\{ 2 + 4 ( n - 2 ) + ( n - 2 ) ( n - 3 ) \right\}$ $\displaystyle = \frac{n ( n - 1 )}{4} ( n ^{2} - n ) = {\square {\frac{n ^{2} ( n - 1 ) ^{2}}{4}}}$ 이다. 따라서 $k = 6 , f ( n ) = 6 \times _{n} C _{4}$, $\displaystyle g ( n ) = \frac{n ^{2} ( n - 1 ) ^{2}}{4}$이므로 $f ( k ) + g ( k ) = f ( 6 ) + g ( 6 ) = 90 + 225 = 315$