기하공간도형과 공간좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

공 그림자 정사영

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 rr인 구 모양의 공이 공중에 있다. 벽면과 지면은 서로 수직이고, 태양광선이 지면과 크기가 θ\theta인 각을 이루면서 공을 비추고 있다. 태양광선과 평행하고 공의중심을 지나는 직선이 벽면과 지면의 교선 ll과 수직으로 만난다. 벽면에 생긴 공의 그림자 위의 점에서 교선 ll까지 거리의 최댓값을 aa라하고, 지면에 생기는 공의 그림자 위의 점에서 교선 ll까지 거리의 최댓값을 bb라 하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

[보 기]

ㄱ. 그림자와 교선 ll의 공통부분의 길이는 2r2 r이다. ㄴ. θ=60∘\theta = 60 ^\circ이면 a<ba < b이다. ㄷ. 1a2+1b2=1r2\displaystyle \frac{1}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} = \frac{1}{r ^{2}}

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄷ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

ㄱ. 구의 지름 중 구의 중심을 지나고, 교선 ll과 평행한 지름의 정사영의 길이는 변치 않으므로 그림자와 교선 ll의 공통부분의 길이는 2r2 r 이다 (참) 또, 구의 중심을 교선ll위에 오도록 평행이동하고, 구면 위의 원 중에서 태양광선에 수직인 원의 지름을 xyxy평면에서 생각하면 그림과 같다

이때 acos⁡θ=r,bsin⁡θ=ra \cos \theta = r , b \sin \theta = r 이므로 ㄴ. acos⁡60∘=bsin⁡60∘a \cos 60 ^{\circ} = b \sin 60 ^{\circ} 에서 a=3b\displaystyle a = \sqrt{3} b 즉 a>ba > b (거짓) ㄷ. cos⁡θ=ra,sin⁡θ=rb\displaystyle \cos \theta = \frac{r}{a} , \sin \theta = \frac{r}{b} 이므로 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1 에 대입하면 r2a2+r2b2=1\displaystyle \frac{r ^{2}}{a ^{2}} + \frac{r ^{2}}{b ^{2}} = 1 즉 1a2+1b2=1r2\displaystyle \frac{1}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} = \frac{1}{r ^{2}} (참)

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#정사영#구#보기

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