확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

공 개수 확률변수

문제

주머니에 11이 적힌 공이 nn개, 22가 적힌 공이 (n−1)\left( n - 1 \right)개, 33이 적힌 공이 (n−2)\left( n - 2 \right)개, ⋯\cdots, nn이 적힌 공이 11개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 꺼낸 한 개의 공에 적힌 수를 확률변수 XX라 하자. 다음은 E(X)≥5\mathrm{E} \left( \mathit{X} \right) \geq 5가 되도록 하는 자연수 nn의 최솟값을 구하는 과정이다.

nn 이하의 자연수 kk에 대하여 kk가 적힌 공의 개수는 (n−k+1)\left( n - k + 1 \right)이므로 P(X=k)\mathrm{P} \left( \mathit{X} = k \right)=2(n−k+1)□(가)\displaystyle = \frac{2 \left( n - k + 1 \right)}{{\square {( \text{가} ) ^{}}} ^{}} (k=1,2,3,⋯ ,n)\left( k = 1 , 2 , 3 , \cdots , n \right) 확률변수 XX의 평균은 E(X)\mathrm{E} \left( \mathit{X} \right)=∑k=1nkP(X=k)\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} k \mathrm{P} \left( \mathit{X} = k \right) =2□(가)×∑k=1nk(n−k+1)\displaystyle = \frac{2}{{\square {( \text{가} ) ^{}}} _{{}_{}} ^{}} \times \sum\limits _{k = 1} ^{n} k \left( n - k + 1 \right) =□(나)= {\square {( \text{나} ) ^{}}} ^{{}^{}} E(X)≥5\mathrm{E} \left( \mathit{X} \right) {\geq} 5에서 nn의 최솟값은 □(다)\square {( \text{다} ) ^{}}이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(n)f \left( n \right), g(n)g \left( n \right)이라 하고, (다)에 알맞은 수를 aa라 할 때, f(7)+g(7)+af \left( 7 \right) + g \left( 7 \right) + a의 값은? [4점] ①7272②7474③7676④7878⑤8080

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①

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해설

[출제의도] 이산확률분포에서 조건을 만족시키는 nn의 최솟값을 구하는 과정을 증명한다. 전체 공의 개수는 n+(n−1)+⋯+1=n(n+1)2\displaystyle n + \left( n - 1 \right) + \cdots + 1 = \frac{n \left( n + 1 \right)}{2}이므로 P(X=k)\mathrm{P} \left( \mathit{X} = k \right)=n−k+1n(n+1)2=2(n−k+1)□n(n+1)\displaystyle = \frac{n - k + 1}{\frac{n \left( n + 1 \right)}{2}} = \frac{2 \left( n - k + 1 \right)}{{\square {n \left( n + 1 \right) ^{}}} ^{}} 확률변수 XX의 평균은 E(X)\mathrm{E} \left( \mathit{X} \right)=∑k=1nkP(X=k)\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} k \mathrm{P} \left( \mathit{X} = k \right) =2□n(n+1)×∑k=1nk(n−k+1)\displaystyle = \frac{2}{{\square {n \left( n + 1 \right) ^{}}} ^{}} \times \sum\limits _{k = 1} ^{n} k \left( n - k + 1 \right) =2n(n+1)×∑k=1n{(n+1)k−k2}\displaystyle = \frac{2}{n \left( n + 1 \right) ^{}} \times \sum\limits _{k = 1} ^{n} \left\{ \left( n + 1 \right) k - k ^{2} \right\} =2n(n+1){(n+1)×n(n+1)2−n(n+1)(2n+1)6}\displaystyle = \frac{2}{n \left( n + 1 \right)} \left\{ \left( n + 1 \right) {\times} \frac{n \left( n + 1 \right)}{2} - \frac{n \left( n + 1 \right) \left( 2 n + 1 \right)}{6} \right\} =(n+1)−2n+13\displaystyle = \left( n + 1 \right) - \frac{2 n + 1}{3}=□13(n+2)\displaystyle = {\square {\frac{1}{3} \left( n + 2 \right)}} E(X)=13(n+2)≥5\displaystyle \mathrm{E} \left( \mathit{X} \right) = \frac{1}{3} \left( n + 2 \right) \geq 5에서 nn의 최솟값은 □13{\square {13 ^{}}}이다. f(n)=n(n+1)f \left( n \right) = n \left( n + 1 \right), g(n)=13(n+2)\displaystyle g \left( n \right) = \frac{1}{3} \left( n + 2 \right), a=13a = 13이므로 f(7)+g(7)+af \left( 7 \right) + g \left( 7 \right) + a=56+3+13=72= 56 + 3 + 13 = 72

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#기댓값#시그마#빈칸 추론

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