곡선의 길이

[출제의도] 곡선의 길이 이해하기 $\displaystyle y' = \frac{1}{2} \sqrt{x}$이므로 $\displaystyle l = \int _{0} ^{12} {\sqrt{1 + \left( y' \right) ^{2}}} dx = \int _{0} ^{12} {\sqrt{1 + \frac{x}{4}}} dx$ $\displaystyle \sqrt{1 + \frac{x}{4}} = t$라 놓으면 $\displaystyle 1 + \frac{x}{4} = t ^{2}$, $\displaystyle \frac{1}{4} \frac{dx}{dt} = 2 t$ $x = 0$일 때 $t = 1$, $x = 12$일 때 $t = 2$이므로 $\displaystyle l = \int _{1} ^{2} {8 t ^{2} dt =} \left[ \frac{8}{3} t ^{3} \right] _{1} ^{2} = \frac{64}{3} - \frac{8}{3} = \frac{56}{3}$ 따라서 $3 l = 56$