곡선의 길이

곡선 $\displaystyle y = \frac{1}{2} \left( \left| e ^{x} - 1 \right| - e ^{\left| x \right|} + 1 \right)$에서 $\displaystyle y = {\begin{cases} \frac{1}{2} \left( - e ^{x} - e ^{- x} + 2 \right) & \left( - \ln 4 \leq x < 0 \right) \\ 0 & \left( 0 \leq x \leq 1 \right) \end{cases}}$ (ⅰ) $- \ln 4 \leq x < 0$일 때 $y'$$\displaystyle = \frac{1}{2} \left( - e ^{x} + e ^{- x} \right)$이므로 곡선의 길이는 $\displaystyle \int _{- \ln 4} ^{0} {\sqrt{1 + \left( y' \right) ^{2}}} dx$$\displaystyle = \int _{- \ln 4} ^{0} {\sqrt{1 + \frac{1}{4} \left( e ^{2 x} - 2 + e ^{- 2 x} \right)}} dx$ $\displaystyle = \int _{- \ln 4} ^{0} {\sqrt{\frac{1}{4} \left( e ^{2 x} + 2 + e ^{- 2 x} \right)}} dx$ $\displaystyle = \int _{- \ln 4} ^{0} {\frac{1}{2} \left( e ^{x} + e ^{- x} \right)} dx$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} e ^{x} - e ^{- x} \end{array} \right] _{- \ln 4} ^{0}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left( 4 - \frac{1}{4} \right)$ $\displaystyle = \frac{15}{8}$ (ⅱ) $0 \leq x \leq 1$일 때 $y' = 0$이므로 곡선의 길이는 $\displaystyle \int _{0} ^{1} {\sqrt{1 + 0} dx}$$\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} t \end{array} \right] _{0} ^{1}$$= 1$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $x = - \ln 4$에서 $x = 1$까지 곡선 $\displaystyle y = \frac{1}{2} \left( \left| e ^{x} - 1 \right| - e ^{\left| x \right|} + 1 \right)$의 길이는 $\displaystyle \int _{- \ln 4} ^{1} {\sqrt{1 + \left( y' \right) ^{2}}} dx$$\displaystyle = \frac{15}{8} + 1 = \frac{23}{8}$