곡선의 길이

[출제의도] 평면곡선의 미분법을 이용하여 문제해결하기 $\left\{ f ( x ) - f' ( x ) \right\} \left\{ f ( x ) + f' ( x ) \right\} = 2 f ( x )$ 에서 $\left\{ f ( x ) \right\} ^{2} - \left\{ f' ( x ) \right\} ^{2} = 2 f ( x )$이므로 $\left\{ f' ( x ) \right\} ^{2} = \left\{ f ( x ) \right\} ^{2} - 2 f ( x )$ $x = 0$에서 $x = 2$까지 곡선 $y = f ( x )$의 길이는 $\displaystyle \int _{0} ^{2} {} \sqrt{1 + \left\{ f' ( x ) \right\} ^{2}} dx = \int _{0} ^{2} {} \sqrt{1 + \left\{ f ( x ) \right\} ^{2} - 2 f ( x )} dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{2} {} \sqrt{( f ( x ) - 1 ) ^{2}} dx = \int _{0} ^{2} {} \left| f ( x ) - 1 \right| dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{2} {f ( x ) dx - 2 = 6}$ $\displaystyle \therefore \int _{0} ^{2} {f ( x ) dx = 8}$