곡선과 원 넓이의 극한

[출제의도] 도형의 성질을 이용하여 수열의 극한값을 구하는 문제를 해결한다. 점 $\mathrm{P} _{\mathit{n}}$의 $x$좌표를 $t$라 하면 $y$좌표는 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{n + 1} t ^{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{OP} _{\mathit{n}}}}$$= 2 n + 2$이므로 $\displaystyle \sqrt{t ^{2} + \left( \frac{\sqrt{3}}{n + 1} t ^{2} \right) ^{2}}$$= 2 n + 2$에서 $t$$= n + 1$ 직각삼각형 $\mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathrm{OH} _{\mathit{n}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OH} _{\mathit{n}}}} : {\overline{\mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathrm{H} _{\mathit{n}}}}$$\displaystyle = 1 : \sqrt{3}$이므로 $\tan \left( \mathrm{\angle} P _{\mathit{n}} \mathrm{OH} _{\mathit{n}} \right)$$\displaystyle = \sqrt{3}$ 즉 $\mathrm{\angle} \mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathrm{O} \mathrm{H} _{\mathit{n}}$$\displaystyle = \frac{\pi}{3}$ $\mathrm{\angle} R _{\mathit{n}} \mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathrm{H} _{\mathit{n}}$$= 2 \times \mathrm{\angle} OP _{\mathit{n}} \mathrm{H} _{\mathit{n}}$$\displaystyle = 2 \times \frac{\pi}{6}$$\displaystyle = \frac{\pi}{3}$ 점 $\mathrm{R} _{\mathit{n}}$을 포함하지 않는 호 $\mathrm{Q} _{\mathit{n}} \mathrm{H} _{\mathit{n}}$과 선분 $\mathrm{O} \mathrm{H} _{\mathit{n}}$, 곡선 $T _{n}$으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $h ( n )$이라 하자. (ⅰ) 곡선 $T _{n}$과 $x$축 및 선분 $\mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathrm{H} _{\mathit{n}}$으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $f ( n ) + h ( n )$이므로 $f ( n ) + h ( n )$$\displaystyle = \int _{0} ^{n + 1} {\frac{\sqrt{3}}{n + 1} x ^{2} dx}$$\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{\sqrt{3}}{3 \left( n + 1 \right)} x ^{3} \end{array} \right] _{0} ^{n + 1}$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{3} \left( n + 1 \right) ^{2}$ $\cdots \cdots$ ㉠ (ⅱ) 점 $\mathrm{Q} _{\mathit{n}}$을 포함하는 호 $\mathrm{R} _{\mathit{n}} \mathrm{H} _{\mathit{n}}$과 두 선분 $\mathrm{OR} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{O} \mathrm{H} _{\mathit{n}}$으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $g ( n ) + h ( n )$이고, 이 값은 사각형 $\mathrm{OH} _{\mathit{n}} \mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathrm{R} _{\mathit{n}}$의 넓이에서 중심각의 크기가 $\displaystyle \frac{\pi}{3}$인 부채꼴 $\mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathrm{R} _{\mathit{n}} \mathrm{H} _{\mathit{n}}$의 넓이를 뺀 값과 같으므로 $g ( n ) + h ( n )$ $\displaystyle = 2 \times \left( \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{OH _{\mathit{n}}}} \times \mathrm{\overline{P _{\mathit{n}} \mathrm{H} _{\mathit{n}}}} \right) - \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{P _{\mathit{n}} \mathrm{H} _{\mathit{n}}}} ^{2} \times \frac{\pi}{3}$ $\displaystyle = \sqrt{3} \left( n + 1 \right) ^{2} - \frac{\pi \left( n + 1 \right) ^{2}}{2}$$\displaystyle = \left( \sqrt{3} - \frac{\pi}{2} \right) \left( n + 1 \right) ^{2}$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $f ( n ) - g ( n )$$\displaystyle = \left( \frac{\pi}{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \right) \left( n + 1 \right) ^{2}$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{f ( n ) - g ( n )}{n ^{2}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left( \frac{\pi}{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \right) \left( n + 1 \right) ^{2}}{n ^{2}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \frac{\pi}{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \right) \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{2}}$ $\displaystyle = \frac{\pi}{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 그러므로 $k$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 따라서 $60 k ^{2}$$\displaystyle = 60 \times \left( - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \right) ^{2}$$= 80$