미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

곡선과 직선의 교점 조건

문제

실수 pp에 대하여 곡선 yy=x3−x2= x ^{3} - x ^{2}과 직선 yy=px−1= px - 1의 교점의 xx좌표 중 가장 작은 값을 mm이라 하자. m<a<bm < a < b인 모든 실수 a,ba , b에 대하여 ∫ab(x3−x2−px+1)dx\displaystyle \int _{a} ^{b} {} \left( x ^{3} - x ^{2} - px + 1 \right) dx>0> 0 이 되도록 하는 mm의 최솟값은? [4점] ①−12\displaystyle - \frac{1}{2}②−1- 1③−32\displaystyle - \frac{3}{2}④−2- 2⑤−52\displaystyle - \frac{5}{2}

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②

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해설

직선 AB\mathrm{AB}의 기울기와 점 B\mathrm{B}에서의 접선의 기울기가 같음을 이용하여 tt를 구하면 t3−t2+1t=f′(t)=3t2−2t\displaystyle \frac{t ^{3} - t ^{2} + 1}{t} = f' ( t ) = 3 t ^{2} - 2 t 2t3−t2−1=(t−1)(2t2+t+1)=02 t ^{3} - t ^{2} - 1 = ( t - 1 ) ( 2 t ^{2} + t + 1 ) = 0 ∴\therefore t=1t = 1 즉, p=1p = 1이므로 x3−x2=x−1x ^{3} - x ^{2} = x - 1을 정리하면, x3−x2−x+1=(x+1)(x−1)2=0x ^{3} - x ^{2} - x + 1 = ( x + 1 ) ( x - 1 ) ^{2} = 0 ∴\therefore x=−1x = \mathit{-} 1 따라서 m=−1m = \mathit{-} 1

태그

#정적분과 부등식#접선

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