곡선과 직선의 교점 거리곱

[출제의도] 분수함수의 그래프와 직선과의 관계를 이해하고 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. 도형 $x y - 2 x - 2 y = k$와 직선 $x + y = 8$의 교점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 $x$좌표를 각각 $\alpha , \beta$라 하자. $y = 8 - x$를 대입하여 정리하면 $x ^{2} - 8 x + ( k + 16 ) = 0$ ……㉠ 이 방정식의 두 근이 $\alpha , \beta$이므로 $\alpha \beta = k + 16 = 14$ ∴ $k = - 2$ $k = - 2$를 ㉠에 대입하여 풀면 $\displaystyle x = 4 \pm \sqrt{2}$ ∴ $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} 4 - \sqrt{2} , 4 + \sqrt{2} )$, $\displaystyle \mathrm{Q} \mathit{(} 4 + \sqrt{2} , 4 - \sqrt{2} )$ ∴ $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} \times \overline{\mathrm{OQ}} = {\overline{\mathrm{OP}}} ^{2}$ $\displaystyle = ( 4 - \sqrt{2} ) ^{2} + ( 4 + \sqrt{2} ) ^{2}$ $= 36$ [다른풀이] 도형 $x y - 2 x - 2 y = k$와 직선 $x + y = 8$의 교점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 $x$좌표를 각각 $\alpha , \beta$라 하자. $y = 8 - x$를 대입하여 정리하면 $x ^{2} - 8 x + ( k + 16 ) = 0$ ……㉠ 이 방정식의 두 근이 $\alpha , \beta$이므로 $\alpha + \beta = 8 , \alpha \beta = k + 16$ 여기서 $\mathrm{P} , Q$의 $x$좌표의 곱이 $14$이므로 $k = - 2$ 그런데 도형 $xy - 2 x - 2 y = - 2$는 직선 $y = x$에 대하여 대칭이므로 선분 $\mathrm{P} Q$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 삼각형 $\mathrm{O} PQ$는 이등변삼각형이다. ∴ $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} \times \overline{\mathrm{OQ}} = {\overline{\mathrm{OP}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{OM}}} ^{2} + \left( \frac{1}{2} \overline{\mathrm{PQ}} \right) ^{2}$ 이때 $\displaystyle {\overline{\mathrm{O} M}} ^{2} = 4 ^{2} + 4 ^{2} = 32$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{P} Q}} = \sqrt{2 ( \alpha - \beta ) ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{2 \left\{ ( \alpha + \beta ) ^{2} - 4 \alpha \beta \right\}} = 4$ ∴ $\displaystyle {\overline{\mathrm{O} P}} \times {\overline{\mathrm{O} Q}} = 32 + 4 = 36$