곡선과 직선 거리 극한

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제를 해결할 수 있는가 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $\left( s , s ^{2} \right)$이라 하면 점 $\mathrm{P}$에서 곡선 $y = x ^{2}$에 접하는 직선의 기울기가 $2 t$가 되어야 한다. $f \left( x \right) = x ^{2}$이라 하면 $f' \left( x \right) = 2 x$이므로 $2 s = 2 t$ 에서 $s = t$ 즉, ${\mathrm{P}} \left( t , t ^{2} \right)$ 이때 직선 $\mathrm{OP}$의 방정식은 $y = tx$이므로 $tx = 2 tx - 1$ 에서 $\displaystyle x = \frac{1}{t}$ 즉, 점 $\mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle {\mathrm{Q}} \left( \frac{1}{t} , 1 \right)$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 1 -} {} \frac{\mathrm{\overline{PQ}}}{1 - t}$$\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 1 -} {} \frac{\sqrt{\left( \frac{1}{t} - t \right) ^{2} + \left( 1 - t ^{2} \right) ^{2}}}{1 - t}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 1 -} {} \frac{\left( 1 - t ^{2} \right) \sqrt{\frac{1}{t ^{2}} + 1}}{1 - t}$ $\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 1 -} {} \left( 1 + t \right) \sqrt{\frac{1}{t ^{2}} + 1}$ $\displaystyle = 2 \sqrt{2}$