곡선과 직선 두 점 교점

$y = x ^{3} - 3 x ^{2} + 2 x - 3$과 $y = 2 x + k$가 서로 다른 두 점에서 만나므로 $y = 2 x + k$은 $y = x ^{3} - 3 x ^{2} + 2 x - 3$의 접선이 된다. 따라서 기울기가 $2$인 접선의 방정식을 통하여 $y = 2 x + k$을 구할 수 있다. 접점을 $( t , t ^{3} - 3 t ^{2} + 2 t - 3 )$이라고 하면 접선의 기울기는 $3 t ^{2} - 6 t + 2$이다. 기울기는 $3 t ^{2} - 6 t + 2 = 2$이므로 $t = 0 , 2$이다. 따라서 접점은 $( 0 , - 3 ) , ( 2 , - 3 )$이다. 직선의 방정식은 다음과 같다. $y = 2 x - 3 , y = 2 x - 7$ 따라서 $k$의 곱은 $21$