미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

곡선과 직선 최소거리

문제

곡선 y=13x3+113(x>0)\displaystyle y = \frac{1}{3} x ^{3} + \frac{11}{3} ( x > 0 ) 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}와 직선 x−y−10=0x - y - 10 = 0 사이의 거리를 최소가 되게 하는 곡선 위의 점 P\mathrm{P}의 좌표를 (a,b)( a , b )라 할 때, a+ba + b의 값을 구하시오. [4점]

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해설

y=13x3+113(x>0)\displaystyle y = \frac{1}{3} x ^{3} + \frac{11}{3} ( x > 0 )에서 y′=x2y' = x ^{2} 또한 직선 y=x−10y = x - 10은 기울기가 11이므로 x2=1x ^{2} = 1에서 x=1x = 1 따라서 y=13+113=4\displaystyle y = \frac{1}{3} + \frac{11}{3} = 4이므로 점 P\mathrm{P}의 좌표는 (1,4)( 1 , 4 )이다. ∴a+b=5\therefore a + b = 5

태그

#접선#최소거리

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