대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

곡선 y=3/x 삼각형 넓이

문제

그림과 같이 xx축 위의 점 A1(1,0)\mathrm{A} _{1} ( 1 , 0 ), A2(1+12,0)\displaystyle \mathrm{A} _{2} \left( 1 + \frac{1}{2} , 0 \right), ⋯\cdots, An(1+12+⋯+12n−1,0)\displaystyle \mathrm{A} _{\mathit{n}} \left( 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2 ^{\mathit{n} - 1}} , 0 \right)에서 yy축에 평행한 직선을 그어 곡선 y=3x\displaystyle y = \frac{3}{x}과 만나는 점을 각각 B1,B2,⋯ ,Bn\mathrm{B} _{1} , B _{2} , \cdots , B _{\mathit{n}}이라 하자. △A0A1B1\mathrm{\triangle} A _{0} A _{1} B _{1}의 넓이를 S1S _{1}, △A1A2B2\mathrm{\triangle} A _{1} A _{2} B _{2}의 넓이를 S2S _{2}, △A2A3B3\mathrm{\triangle} A _{2} A _{3} B _{3}의 넓이를 S3S _{3}, ⋯\cdots, △An−1AnBn\mathrm{\triangle} A _{\mathit{n} - 1} A _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, S10S _{10}의 값은? (단, A0\mathrm{A} _{0}은 원점이다.) [4점]

①1678\displaystyle \frac{1}{678}②1679\displaystyle \frac{1}{679}③1680\displaystyle \frac{1}{680}④1681\displaystyle \frac{1}{681}⑤1682\displaystyle \frac{1}{682}

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⑤

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해설

[출제의도] 등비수열의 합 이해하기 Sn=12An−1An‾×AnBn‾\displaystyle S _{n} = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} - 1} A _{\mathit{n}}} \times \overline{\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}}=12×12n−1×3∑k=1n12k−1=32(2n−1)\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2 ^{n - 1}} \times \frac{3}{\sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{1}{2 ^{k - 1}}} = \frac{3}{2 ( 2 ^{n} - 1 )} ∴S10=32046=1682\displaystyle \therefore S _{10} = \frac{3}{2046} = \frac{1}{682}

태그

#등비수열의 합#넓이

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