미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

곡선 위 원과 극한

문제

그림과 같이 곡선 yy=xsin⁡x= x \sin x 위의 점 P(t,tsin⁡t)\mathrm{P} \mathit{\left( t , t \sin t \right)} (0<t<π0 < t < \pi)를 중심으로 하고 yy축에 접하는 원이 선분 OP\mathrm{OP}와 만나는 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. 점 Q\mathrm{Q}의 xx좌표를 f(t)f \left( t \right)라 할 때, lim⁡t→0+f(t)t3\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \frac{f \left( t \right)}{t ^{3}}의 값은? (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [3점]

①14\displaystyle \frac{1}{4}②24\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}③12\displaystyle \frac{1}{2}④22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}⑤11

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③

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해설

[출제의도] 삼각함수의 극한을 활용하여 문제해결하기 점 P\mathrm{P}와 점 Q\mathrm{Q}에서 xx축에 내린 수선의 발을 각각 P′,Q′\mathrm{P}' , Q'이라 하면 OP′‾\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}'}}=t= t, OQ′‾\displaystyle {\overline{\mathrm{OQ}'}}=f(t)= f \left( t \right) OP‾\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}}}=t2+t2sin⁡2t\displaystyle = \sqrt{t ^{2} + t ^{2} \sin ^{2} t}=t1+sin⁡2t\displaystyle = t \sqrt{1 + \sin ^{2} t} OQ‾\displaystyle {\overline{\mathrm{OQ}}}=OP‾−PQ‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{OP}}} - {\overline{\mathrm{PQ}}}=t(1+sin⁡2t−1)\displaystyle = t \left( \sqrt{1 + \sin ^{2} t} - 1 \right) 삼각형 OPP′\mathrm{OPP}'과 삼각형 OQQ′\mathrm{OQQ}'은 서로 닮음이므로 OP′‾:OQ′‾\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}'}} : {\overline{\mathrm{OQ}'}}=OP‾:OQ‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{OP}}} : {\overline{\mathrm{OQ}}} t:f(t)t : f \left( t \right)=t1+sin⁡2t:t(1+sin⁡2t−1)\displaystyle = t \sqrt{1 + \sin ^{2} t} : t \left( \sqrt{1 + \sin ^{2} t} - 1 \right)에서 f(t)f \left( t \right)=t(1+sin⁡2t−1)1+sin⁡2t\displaystyle = \frac{t \left( \sqrt{1 + \sin ^{2} t} - 1 \right)}{\sqrt{1 + \sin ^{2} t}} lim⁡t→0+f(t)t3\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \frac{f \left( t \right)}{t ^{3}} =lim⁡t→0+1+sin⁡2t−1t21+sin⁡2t\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \frac{\sqrt{1 + \sin ^{2} t} - 1}{t ^{2} \sqrt{1 + \sin ^{2} t}} =lim⁡t→0+(1+sin⁡2t−1)(1+sin⁡2t+1)t21+sin⁡2t(1+sin⁡2t+1)\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \frac{\left( \sqrt{1 + \sin ^{2} t} - 1 \right) \left( \sqrt{1 + \sin ^{2} t} + 1 \right)}{t ^{2} \sqrt{1 + \sin ^{2} t} \left( \sqrt{1 + \sin ^{2} t} + 1 \right)} =lim⁡t→0+sin⁡2tt21+sin⁡2t(1+sin⁡2t+1)\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \frac{\sin ^{2} t}{t ^{2} \sqrt{1 + \sin ^{2} t} \left( \sqrt{1 + \sin ^{2} t} + 1 \right)} =lim⁡t→0+(sin⁡tt)2×11+sin⁡2t(1+sin⁡2t+1)\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} {} \left( \frac{\sin t}{t} \right) ^{2} \times \frac{1}{\sqrt{1 + \sin ^{2} t} \left( \sqrt{1 + \sin ^{2} t} + 1 \right)} =12×11×(1+1)\displaystyle = 1 ^{2} \times \frac{1}{\sqrt{1} \times \left( \sqrt{1} + 1 \right)}=12\displaystyle = \frac{1}{2}

태그

#삼각함수의 극한#원

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