공통수학2명제수능 기출기본 문제 (3점 중반)

곡선 위 점까지 최소 거리

문제

좌표평면에 점 P(0,3){\mathrm{P}} ( 0 , 3 )과 곡선 y=8x+3\displaystyle y = \frac{8}{x} + 3이 있다. 점 Q{\mathrm{Q}}가 이 곡선 위를 움직일 때, 선분 PQ\mathrm{PQ}의 길이의 최솟값을 mm이라 하자. m2m ^{2}의 값을 구하시오. [3점]

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16

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해설

[출제의도] 유리함수의 그래프에서 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 거리의 최솟값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. Q(a,8a+3)\displaystyle {\mathrm{Q}} \left( a , \frac{8}{a} + 3 \right)라 하면 PQ‾=a2+(8a)2≥2a2⋅(8a)2=16=4\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{a ^{2} + \left( \frac{8}{a} \right) ^{2}} \geq \sqrt{2 \sqrt{a ^{2} \cdot \left( \frac{8}{a} \right) ^{2}}} = \sqrt{16} = 4 (단, 등호는 a=±22\displaystyle a = \pm 2 \sqrt{2}일 때 성립) m=4m = 4이므로 m2=16m ^{2} = 16

태그

#산술평균과 기하평균#유리함수

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